乘积测度、Tonelli 与 Fubini

本章问题

把二维问题拆成截面与迭代积分，严格区分非负和绝对可积两条路线。

七步主线

1. 矩形上的预测度：先在可测矩形定义乘积，再延拓到乘积 σ-代数；边界：乘积 σ-代数未必包含所有子集。
2. 截面的可测性：乘积可测集和函数的截面对几乎所有参数可测；边界：截面结论需说明固定哪个变量。
3. Tonelli 定理：非负可测函数允许交换次序，结果可为无穷；边界：非负性不能省。
4. Fubini 定理：绝对可积保证几乎处处截面积分存在并可交换；边界：条件收敛时换序可能改变答案。
5. 卷积的测度论定义：用平移乘积的可积性定义卷积并估计范数；边界：逐点存在与 a.e. 存在要区分。
6. 参数积分与可测性：把含参数函数看作乘积空间可测函数，再用 Tonelli/Fubini；边界：连续依赖还需更强控制。
7. 换序失败反例：构造正负质量分布使两次迭代积分不同或不存在；边界：看到两个有限形式答案更要检查绝对可积。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。