变限积分函数求导真题篇

接住上一课

强化篇处理双变限。本课把三角复合上限放进真题，训练先看结构、再调用基本定理，避免真的去求一个没有初等原函数的积分。

教师带你完成主模型

设F(x)=∫_0^{sin x}sqrt(1+t²)dt。无需计算积分原函数，直接得F'(x)=sqrt(1+sin²x)cos x，所以F'(0)=1。题目考的是积累函数的局部变化，不是积分技巧。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若外面还有平方G(x)=[F(x)]²，则G'=2F·F'，这时既用积分上限求导又用链式法则。先给每层命名能避免漏项。

我会追问的易错点

试图先把积分算出来会浪费时间，甚至遇到复杂原函数。只要被积函数连续，基本定理直接给导数。

迁移到下一题

求G(x)=[∫_0^{x²}cos(t²)dt]²的导数，按外层平方、积分层、上限层依次写出。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。