隐函数求导真题篇

接住上一课

上一课会求一阶隐导数。本课进入真题常见的二阶导数：先保留一阶关系，再对它再次求导，最后才代点。

教师带你完成主模型

单位圆x²+y²=1的一阶关系为x+y y'=0。再次求导得到1+(y')²+y y''=0，所以y''=-[1+(y')²]/y。在点(0,1)，先由y'=-x/y得0，再得y''=-1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

也可在上半圆y=sqrt(1-x²)显式求导核对，但隐式路线不需要先解出y。二阶导中d(y y')/dx=(y')²+y y''，必须用乘积法则。

我会追问的易错点

直接对y'=-x/y套商法则而漏掉y依赖x，或在第一次求导后过早代点，都会使二阶信息丢失。最稳方法是先写关系式再二次求导。

迁移到下一题

对椭圆x²/4+y²=1求y''，并在(0,1)处计算；比较曲率方向与图像顶部凹向。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。