变限积分函数求导基础篇

接住上一课

前面从差商理解局部变化。现在积分上限移动时，新增加的一小段面积也产生导数。微积分基本定理把积累量与瞬时函数值连接起来。

教师带你完成主模型

若F(x)=∫_a^{g(x)}f(t)dt，且f连续，则F'(x)=f(g(x))g'(x)。例F(x)=∫_0^{x²}e^{t²}dt，F'(x)=e^{(x²)²}·2x=2x e^{x⁴}，x=1时为2e。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

积分变量t是哑变量，求导后要把t替换为上限g(x)，再乘上限导数。若上限就是x，公式退化为F'(x)=f(x)。

我会追问的易错点

常见错误是对被积函数关于x求导，或漏乘g'(x)。积分求导先看上下限是否含x，再看被积函数是否还显含x。

迁移到下一题

求F(x)=∫_1^{sin x}ln(1+t²)dt的导数，并在x=0处计算。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。