利用导数的定义求导基础篇

接住上一课

求极限章节已经收口。导数不是一张求导公式表，它首先是函数局部变化率的极限：把两个点的平均变化率压到同一点，才得到瞬时变化率。

教师带你完成主模型

定义 f'(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h，等价写成lim_{x→a}[f(x)-f(a)]/(x-a)。以f(x)=x²为例，差商=[(a+h)²-a²]/h=2a+h，极限为2a；a=3时f'(3)=6。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

导数存在要求双侧差商极限存在。左导数与右导数必须相等。可导必连续，因为 f(a+h)-f(a)=h·差商→0；反过来不成立，例如|x|在0连续但左右导数为-1和1。

我会追问的易错点

把h直接代0会得到0/0，定义的意义正是先在h≠0时化简再取极限。另一个错误是只算右导数就宣布可导。

迁移到下一题

只用定义求 f(x)=1/x 在a≠0处的导数，并在a=2代入；全过程不要调用现成幂函数公式。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。