复合函数求导基础篇

接住上一课

定义型极限让我们看到复合函数的整体变化。现在正式建立链式法则：外层对内层变化的敏感度，乘以内层对x的变化率。

教师带你完成主模型

若y=F(u)、u=g(x)，则dy/dx=F'(u)g'(x)。例如y=sin(x²)，外层导数cos u，内层导数2x，所以y'=2x cos(x²)。在x=1处导数为2cos1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

书写时建议保留中间变量：先写u=x²，再写dy/du与du/dx，最后相乘。对于三层复合，沿依赖链逐层相乘，不能跳过最内层。

我会追问的易错点

常见错法是只求外层得到cos(x²)，或把外层与内层导数相加。链式法则是乘法，因为小变化满足Δy≈F'(u)Δu、Δu≈g'(x)Δx。

迁移到下一题

求y=ln(1+x²)的导数，并在x=1处计算；同时写出定义域对数真数为正的检查。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。