利用导数的定义求极限基础篇

接住上一课

前两课已经会从差商定义求导，也会把标准差商认成导数。本课把这件事变成稳定的求极限工具：遇到函数值之差，不急着展开，先寻找‘同一点、同一增量’。

教师带你完成主模型

若f在a处可导，则lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h=f'(a)。例如lim_{h→0}[ln(1+h)-ln1]/h正是f(x)=ln x在a=1处的导数，因此答案为1。这里必须写出函数f、求导点a和增量h。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若分母是3h，而分子仍为f(a+h)-f(a)，可先提出1/3，答案变为f'(a)/3。若分子使用f(a+2h)，则令u=2h，差商会多出系数2。系数来自增量尺度，不能凭感觉补。

我会追问的易错点

常见错法是看到0/0就机械洛必达，或只说‘这是导数’却不指出哪个函数在哪一点。定义识别必须让分子与分母使用同一增量。

迁移到下一题

计算lim_{h→0}[(1+2h)^5-1]/h，先改写成标准增量，再与直接二项展开核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。