隐函数求导基础篇

接住上一课

前面函数都已显式写成y=f(x)。隐式方程把x、y混在同一个关系里，但只要局部能把y看作x的函数，就可以对等式两边关于x求导。

教师带你完成主模型

对x²+y²=25求导：2x+2y y'=0，所以y'=-x/y（y≠0）。在点(3,4)处，y'=-3/4。关键是y依赖x，因此d(y²)/dx=2y y'。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

几何上圆的法向量为(x,y)，切向量与它垂直，斜率- x/y与隐式求导一致。在y=0处公式分母为零，对应竖直切线，不能简单说导数等于无穷。

我会追问的易错点

最常见错误是把y当常数，写d(y²)/dx=2y。只要对含y的项求导，就必须乘y'；常数项导数才是0。

迁移到下一题

对xy=1求y'，在点(2,1/2)代入；再把y=1/x显式求导进行核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。