隐函数求导强化篇

接住上一课

基础篇只有平方和。本课加入xy乘积与多个y项，要求同时使用乘积法则和链式法则，并在代点前先得到通式。

教师带你完成主模型

对x²+xy+y²=7求导：2x+(x y'+y)+2y y'=0。收集y'得(x+2y)y'=-(2x+y)，故y'=-(2x+y)/(x+2y)。在(1,2)处为-4/5。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

先确认点在曲线上：1+2+4=7。若x+2y=0，不能用当前公式直接给有限斜率，应回到微分方程判断是否为竖直切线或奇点。

我会追问的易错点

xy的导数必须是x y'+y，漏掉任一项都会改变结果。另一个错误是先代点再求导，容易丢失局部结构和特殊分母。

迁移到下一题

对x³+y³=6xy求y'，先完整使用乘积法则，再在满足方程的点(3,3)检查斜率。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。