1Euler法与局部误差
闭卷重建《Euler法与局部误差》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
计算物理 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2改进Euler与中点法
闭卷重建《改进Euler与中点法》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
3Runge–Kutta四阶
闭卷重建《Runge–Kutta四阶》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
4自适应步长和误差估计
闭卷重建《自适应步长和误差估计》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
5刚性方程与隐式方法
闭卷重建《刚性方程与隐式方法》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
6辛积分与Hamilton系统
闭卷重建《辛积分与Hamilton系统》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
7事件检测和轨道综合实验
闭卷重建《事件检测和轨道综合实验》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
第 1 页 · 背面（答案）
对象：Heun;midpoint;RK2;predictor-corrector;order condition；公式：Heun取k1=f(t,y),k2=f(t+h,y+hk1),y+=h(k1+k2)/2；中点取k2=f(t+h/2,y+hk1/2),y+=hk2。；基准：对y′=-y,y0=1,h=.1，两法首步均.905，真值.904837，误差1.63×10^-4，远小于Euler。；边界：把Heun第二斜率的时间仍写t，在自治题看不出，在非自治题会降阶，故测试必须含显式时间。
对象：Euler;local truncation;global error;time grid;first order；公式：由Taylor展开得 y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n)，单步缺陷O(h²)，固定终点累积后全局误差O(h)。；基准：y′=-y,y0=1,h=.1，三步为.9,.81,.729；真值e^-.3=.740818，终点误差-.0118，h减半时误差约减半。；边界：浮点循环可能多走一步；用整数步数并输出实际时间，避免把时间错位当数值误差。
对象：adaptive step;embedded pair;atol;rtol;rejection；公式：尺度sc=atol+rtol·max(|y_n|,|y_trial|)，归一误差r=||e/sc||；阶p常取h_new=h·safety·r^(-1/(p+1))并限幅。；基准：若某四阶对r=16，缩放约16^-1/5=.574；该步必须拒绝并从旧状态重算，不能提交失败试步。；边界：达到最小步仍不达标必须失败；连续拒绝常提示刚性、奇点或实现错误，不能硬接受。
对象：RK4;stage;Butcher weights;fourth order;function evaluation；公式：k1=f(t,y),k2=f(t+h/2,y+hk1/2),k3=f(t+h/2,y+hk2/2),k4=f(t+h,y+hk3)，增量为h(k1+2k2+2k3+k4)/6。；基准：y′=y,y0=1,h=.1，一步因子1+h+h²/2+h³/6+h⁴/24=1.105170833，与e^.1只差约8.5×10^-8。；边界：若k2后原地覆盖y，仍有平滑输出却丢阶；三层收敛阶比单个样例更能抓住错误。
对象：Hamiltonian;symplectic;velocity Verlet;energy drift;reversibility；公式：velocity Verlet：p半步=p-h∇V(q)/2，q新=q+h p半步/m，p新=p半步-h∇V(q新)/2。；基准：谐振子m=k=1,q=1,p=0,h=.1：p半=-.05,q新=.995,p新=-.09975，能量约.4999875。；边界：两次力都用旧位置会变成错误算法；正向N步再反向N步应回到初态附近。
对象：stiffness;backward Euler;A-stability;implicit solve;Newton；公式：后向Euler用于y′=λy给y_{n+1}=y_n/(1-hλ)，Reλ<0时任意h衰减；显式因子1+hλ需位于单位圆。；基准：λ=-1000,h=.01时显式因子-9爆炸，后向因子1/11稳定衰减；稳定不是更高阶，h过大仍会抹去瞬态。；边界：Newton未收敛仍使用最后值会污染全轨迹；必须回退并记录失败原因。
对象：event;zero crossing;dense output;direction;terminal；公式：相邻接受步异号后，用稠密输出或子步积分在[t_n,t_{n+1}]括区间求根；误差受积分、插值和求根共同控制。；基准：自由落体y=10-4.9t²真撞地1.42857；h=.5只报1.5误差.0714，在[1,1.5]定位可显著改善。；边界：拒绝步不能触发正式事件；大步跨过两个根会漏检，用振子检查每周期零点数。