1多项式插值与Vandermonde
闭卷重建《多项式插值与Vandermonde》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
计算物理 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2Lagrange与Newton形式
闭卷重建《Lagrange与Newton形式》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
3Runge现象与Chebyshev节点
闭卷重建《Runge现象与Chebyshev节点》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
4分段线性与三次样条
闭卷重建《分段线性与三次样条》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
5最小二乘和加权拟合
闭卷重建《最小二乘和加权拟合》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
6正则化、交叉验证与不确定度
闭卷重建《正则化、交叉验证与不确定度》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
7物理数据拟合综合实验
闭卷重建《物理数据拟合综合实验》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
第 1 页 · 背面（答案）
对象：Lagrange basis;divided difference;Newton form;barycentric interpolation;node collision；公式：L_k(x)=Π_{j≠k}(x-x_j)/(x_k-x_j)，p=Σy_kL_k。Newton 形式 p=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…，其中 a_k 为k阶差商。；基准：点(0,1),(1,2),(2,5)的差商为1、3，二阶差商1，所以 p=1+x+x(x-1)=1+x²；代入三节点分别恢复1、2、5。；边界：节点顺序影响Newton差商的舍入但不影响精确多项式。用几乎重合节点测试，若没有重复/近重复检查，会产生巨大权重。
对象：Vandermonde;polynomial interpolation;node scaling;condition number;remainder；公式：矩阵 V_ij=x_i^j，解 Vc=y 得幂基系数。插值误差为 f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·Π(x-x_i)，说明误差既由函数高阶导数也由节点乘积控制。；基准：节点 x=0,1,2，值1,2,5，解 c0=1,c1=0,c2=1，得到 p(x)=1+x²；在 x=1.5 得3.25。把节点整体平移到100附近会显著恶化幂基条件数。；边界：直接调用矩阵逆、节点重复或把外推当插值都会失败。重复节点使V奇异；高次等距节点即使求解成功，也可能在端点猛烈振荡。
对象：piecewise linear;cubic spline;natural boundary;second derivative;tridiagonal；公式：自然样条令端点二阶导为0；内部二阶导 M_i 满足 h_{i-1}M_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i+h_iM_{i+1}=6[(y_{i+1}-y_i)/h_i-(y_i-y_{i-1})/h_{i-1}]，形成三对角系统。；基准：节点(0,0),(1,1),(2,0)的自然样条有M0=M2=0，方程4M1=-12，故M1=-3；它比折线平滑，但端点条件仍会影响整段曲率。；边界：用单一h处理非均匀节点、区间搜索越界、端点落错段都会造成跳变。对每个节点左右各取极小偏移检查连续性。
对象：Runge phenomenon;Chebyshev nodes;minimax;endpoint oscillation;barycentric；公式：一类Chebyshev节点 x_k=cos((2k+1)π/[2(n+1)])。插值余项中的 Π(x-x_i) 在这些节点上具有近似最小最大范数，因此压低端点最坏误差。；基准：对 f(x)=1/(1+25x²)，用10次等距插值常在±1附近过冲；换11个Chebyshev节点，端点误差显著下降，而节点数并未增加。；边界：只看节点误差永远为零，完全看不见Runge现象；绘图采样太稀也会漏过尖峰。必须使用独立密网格并输出最大误差位置。
对象：regularization;ridge;cross-validation;bias-variance;data leakage；公式：Ridge解 min||Xβ-y||²+λ||Lβ||²，对应增广最小二乘 [X;√λL]β≈[y;0]。其偏差增大但方差下降，λ控制两者权衡。；基准：两个几乎共线特征使无正则系数可能为100与-99，而预测仍平稳；加入λ=0.1后系数收缩到相近小值，留出误差可能更低。；边界：随机打乱时间序列会让未来信息泄漏到训练集；用测试集反复挑λ也把测试集变成训练集。应固定预处理流水线并保存折索引。
对象：weighted least squares;design matrix;chi-square;covariance;residual；公式：线性模型 y=Xβ+ε，目标 χ²=(y-Xβ)^TW(y-Xβ)。正规方程 X^TWXβ=X^TWy 来自令梯度为零，但数值实现优先对白化矩阵做QR。；基准：点(0,1),(1,2),(2,2)拟合直线得斜率0.5、截距7/6。预测为1.1667,1.6667,2.1667，残差和为0且残差与x列正交。；边界：把σ当权重而非1/σ²、混淆x/y列、用R²评价无截距模型都是常见错。故意加入一个高精度点检验它是否真正获得更大权重。
对象：nonlinear fit;exponential decay;noise model;identifiability;standardized residual；公式：指数衰减 y=A exp(-t/τ)+c 是非线性模型。若c已知可取 ln(y-c)=lnA-t/τ 线性化，但变换改变噪声分布；直接加权非线性拟合更符合原测量模型。；基准：数据 t=0,1,2，y=11,4.679,2.353，若c=1，则 y-c 近似10e^-t，故A≈10、τ≈1。把c错设0会让尾部斜率系统偏小。；边界：对数变换遇到 y≤c 会失效；优化器收敛标志也不等于全局最优。换多组初值并比较残差结构，保留失败运行。