1浮点数、舍入与灾难性消去
闭卷重建《浮点数、舍入与灾难性消去》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
计算物理 · 小纸条
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第 1 页 · 正面（题目）
2绝对相对误差与条件数
闭卷重建《绝对相对误差与条件数》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
3截断误差和收敛阶
闭卷重建《截断误差和收敛阶》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
4稳定性、一致性与收敛
闭卷重建《稳定性、一致性与收敛》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
5单位、量纲和守恒测试
闭卷重建《单位、量纲和守恒测试》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
6环境锁定、种子与数据版本
闭卷重建《环境锁定、种子与数据版本》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
7验证、确认与可复现报告
闭卷重建《验证、确认与可复现报告》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
第 1 页 · 背面（答案）
对象：absolute error;relative error;condition number;backward error;Jacobian；公式：一元函数的相对条件数为 κ=|x f′(x)/f(x)|；线性系统常用 κ(A)=||A||||A^-1||。由一阶展开 Δf≈f′(x)Δx，可推得相对输出误差约不超过 κ 乘相对输入误差。；基准：f(x)=1/(1-x)，x=0.99 时 κ=99。若 x 的相对误差约 10^-4，输出相对误差可到约 0.0099；即使除法实现完全稳定，问题仍会把测量扰动放大近百倍。；边界：把 Hilbert 矩阵求解后的小残差当作高精度答案是典型误判：病态系统可能同时拥有小残差与大解误差。应同时报告后向误差和条件数估计。
对象：float;IEEE754;machine epsilon;roundoff;cancellation；公式：按 IEEE 双精度，舍入模型写成 fl(x op y)=(x op y)(1+δ)，|δ|≤u。相近大数相减时有效位被抵消：把 sqrt(1+x)-1 有理化为 x/(sqrt(1+x)+1)，是在代数层面避免灾难性消去。；基准：取 x=10^-12。直接计算 sqrt(1+x)-1 只能留下约 5.00044×10^-13，而稳定式给 4.99999999999875×10^-13；两者差别不是公式不同，而是减法先丢失了高位。；边界：常见故障是用相等判断检测迭代终止，或把很大数加上很小增量后期待增量仍存在。复现时输出十六进制浮点表示，便能看见数值落在了哪个机器格点。
对象：consistency;stability;convergence;amplification factor;Lax equivalence；公式：线性初值问题可写 e_{n+1}=G(h)e_n+τ_n；若放大因子 |G| 受控且局部缺陷 τ→0，累积误差才趋零。对适定线性问题，Lax 等价思想把“一致+稳定”连接到收敛。；基准：测试 y′=-10y 的显式 Euler：G=1-10h。h=0.1 时 G=0，数值一步归零；h=0.25 时 G=-1.5，虽局部公式一致，误差却交替放大。；边界：只做单步测试会错过长期不稳定；只看最终点又会漏掉中间爆炸后偶然回落。应保存范数随时间的序列，并检查 NaN/Inf 首次出现步。
对象：Taylor expansion;truncation error;observed order;Richardson;roundoff floor；公式：Taylor 展开 f(x+h)=f(x)+hf′+h²f″/2+…；前向差分 [f(x+h)-f(x)]/h=f′+h f″/2+O(h²)，故为一阶。中心差分相减后偶次项抵消，得到 [f(x+h)-f(x-h)]/(2h)=f′+O(h²)。；基准：对 f=sin x 在 x=1 求导，h=0.1、0.05、0.025 时中心差分误差应约按 4 倍下降。用三次误差比 p≈log2(e_h/e_{h/2})，可观察 p 接近 2。；边界：若函数不光滑或采样点跨过间断，理论二阶会降阶甚至不收敛。故障注入可用 |x| 在 x=0 附近求导，检查 Taylor 假设失效而不是误怪程序。
对象：environment lock;dependency;seed;data hash;determinism；公式：伪随机程序的输出可写 Y=A(code,data,parameters,environment,seed)。只有这些自变量被固定或记录，输出哈希的差异才有诊断意义；种子相同不代表不同试验独立。；基准：同一 Monte Carlo 积分用 seed=7、N=10000 可重现样本序列；若库版本改变了随机生成器，种子仍为 7 也可能不同。因此报告需记录生成器名称与版本，而非只写“已固定随机种子”。；边界：只保存 notebook 最终输出会隐藏执行顺序依赖。清空内核后从头运行，若变量未定义或图表变化，就说明复现链断裂。
对象：dimensional analysis;invariant;momentum;energy drift;normalization；公式：若更新为 p_{n+1}=p_n+hF，F 必须具有动量/时间量纲。闭合 N 体系统总动量 P=Σm_iv_i 应保持；相对守恒漂移可写 |P(t)-P(0)|/P_scale。；基准：两粒子质量 1、2，速度 2、-1，总动量为 0。若内部力更新后速度变为 1.9、-0.95，总动量仍为 0；若两者都减 0.1，则总动量变 -0.3，暴露了作用反作用实现错误。；边界：量纲正确不保证索引正确，守恒正确也可能掩盖粒子交换。可同时检查对称性、极限和局部残差；故意把一对力只加到一个粒子上，测试应立刻失败。
对象：verification;validation;manufactured solution;grid convergence;reproducibility；公式：制造解法先任选光滑 u*(x)，再把它代入算子 L 得到源项 f=L[u*]，用数值程序解 Lu=f 并比较 u_h 与 u*。这验证离散、边界和求解器的组合。；基准：Poisson 方程取 u*=sin(πx)，则 -u″=π²sin(πx)，边界 u(0)=u(1)=0。网格减半时二阶差分的 L2 误差应约缩小 4 倍；若没有，优先查边界和符号。；边界：用校准数据同时评估模型会产生虚假好成绩；制造解若过于简单也可能没覆盖交叉项。加入非对称、非零边界和变系数案例能暴露漏项。