1二分法与括区间
闭卷重建《二分法与括区间》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
计算物理 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2Newton法与局部收敛
闭卷重建《Newton法与局部收敛》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
3割线法和混合求根
闭卷重建《割线法和混合求根》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
4多变量Newton与Jacobian
闭卷重建《多变量Newton与Jacobian》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
5梯度下降与线搜索
闭卷重建《梯度下降与线搜索》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
6共轭梯度和拟Newton
闭卷重建《共轭梯度和拟Newton》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
7约束优化与物理参数反演
闭卷重建《约束优化与物理参数反演》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
第 1 页 · 背面（答案）
对象：Newton method;tangent linearization;quadratic convergence;derivative;basin；公式：线性化 f(x+Δ)≈f(x)+f′(x)Δ=0，得 x_{k+1}=x_k-f/f′。简单根附近误差满足 e_{k+1}≈[f″(r)/(2f′(r))]e_k²。；基准：求 x²-2=0，从x0=1开始：x1=1.5，x2=1.4166667，x3=1.4142157；正确位数近似翻倍。；边界：对 f=x^(1/3) 在根附近，Newton可发散；坏初值还会跳出物理域。必须设最大步长/域约束，而不是出现NaN后沉默退出。
对象：bisection;bracket;intermediate value theorem;error bound;even root；公式：若 f(a)f(b)<0，取 m=(a+b)/2，并保留异号子区间。k步后区间宽 (b-a)/2^k，中点绝对误差不超过宽度一半。；基准：求 x²-2=0，初始[1,2]。前三个中点为1.5、1.25、1.375，对应符号+,-,-，新区间[1.375,1.5]；继续即可逼近√2。；边界：偶重根两侧同号，二分无法发现；函数含间断也可能异号却没有零点。先画图或检查连续性来源，不能把异号当万能证明。
对象：multivariate Newton;Jacobian;linear solve;damping;directional derivative；公式：F(x+Δ)≈F(x)+J(x)Δ，令 JΔ=-F，再取 x←x+αΔ。局部二次收敛要求J在根处非奇异；阻尼α通过线搜索提高全局稳健性。；基准：解 x²+y²=1、x-y=0，从(0.8,0.6)出发，J=[[1.6,1.2],[1,-1]]，F=(0,0.2)，解得Δ≈(-0.0857,0.1143)，走向(0.7143,0.7143)。；边界：Jacobian行列顺序错常仍能运行。用方向导数 [F(x+hv)-F(x)]/h 与Jv比较，能比逐元素目测更快发现错误。
对象：secant;hybrid root finder;safeguard;bracket;superlinear convergence；公式：割线更新 x_{k+1}=x_k-f_k(x_k-x_{k-1})/(f_k-f_{k-1})，简单根的收敛阶约黄金比1.618。混合算法始终维护 f(a)f(b)≤0。；基准：求 cos x-x=0，从0、1出发，割线给0.6851、0.7363、0.7391；若分母很小或候选跑出[0,1]，就取中点。；边界：两点函数值相等会除零；连续使用靠同一端的假位法可能停滞。记录每次采用的步骤类型，才能看出算法是否真的加速。
对象：conjugate gradient;A-conjugacy;preconditioner;BFGS;curvature condition；公式：CG递推 α_k=(r_k^Tr_k)/(p_k^TAp_k)，x+=αp，r-=αAp，β=(r_new^Tr_new)/(r_old^Tr_old)，p=r_new+βp。精确算术至多n步。；基准：A=diag(1,4), b=(1,4)，从0开始，r0=p0=(1,4)，α0=17/65；第二个共轭方向消去剩余误差，最多两步到x=(1,1)。；边界：非正定矩阵可能出现p^TAp≤0，CG此时必须停止。拟Newton若曲率条件s^Ty≤0，也不能盲目做BFGS更新。
对象：gradient descent;Armijo;line search;Lipschitz;conditioning；公式：x_{k+1}=x_k-α_k∇f。Armijo条件 f(x+αp)≤f(x)+cα∇f^Tp 保证充分下降；对二次型，稳定固定步长需0<α<2/λmax。；基准：f=1/2(x²+100y²)，α=0.02在y方向达到稳定边界并振荡，α=0.01可衰减y但x很慢，体现条件数导致的之字形。；边界：梯度符号错会让线搜索永不接受；只设最大迭代而不报告停止原因会把失败伪装成答案。故意反转一维梯度应触发门禁。
对象：constraint;KKT;Lagrangian;inverse problem;identifiability；公式：等式约束用Lagrangian L=f+λ^Tc，驻点满足∇f+J_c^Tλ=0,c=0。简单边界可投影；一般不等式满足KKT的可行性、对偶可行性、互补与驻点条件。；基准：最小化(x-2)²且x≤1。无约束解2不可行，边界解x=1；乘子条件2(x-2)+λ=0给λ=2≥0，且λ(x-1)=0。；边界：把软惩罚系数设很大可能导致病态，设很小又违反约束；数据与先验单位未缩放也会扭曲目标。扫描惩罚并直接检查约束。