1高斯消元与主元选择
闭卷重建《高斯消元与主元选择》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
计算物理 · 小纸条
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第 1 页 · 正面（题目）
2LU分解与重复求解
闭卷重建《LU分解与重复求解》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
3Cholesky与正定系统
闭卷重建《Cholesky与正定系统》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
4QR与最小二乘
闭卷重建《QR与最小二乘》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
5迭代法与收敛判据
闭卷重建《迭代法与收敛判据》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
6特征值、幂法与逆迭代
闭卷重建《特征值、幂法与逆迭代》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
7稀疏矩阵与物理离散
闭卷重建《稀疏矩阵与物理离散》的定义、公式链、数值基准、算法、误差预算与失败案例。
第 1 页 · 背面（答案）
对象：LU;permutation;forward substitution;Schur complement;factor residual；公式：由消元更新可得 l_ik=u_ik/u_kk，U 的第 k 行先确定，再用 a_ij-Σ_{s<k}l_isu_sj 更新 Schur 补。每个新 b 先解 Ly=Pb，再解 Ux=y。；基准：A=[[2,1],[4,3]] 可分解 L=[[1,0],[2,1]], U=[[2,1],[0,1]]。对 b=(3,7)，前代得 y=(3,1)，回代得 x=(1,1)；换 b 时无需重新消元。；边界：置换后 L 已计算列也必须随行交换；这是手写 LU 最常见 bug。用首列需要换行的 3×3 矩阵可专门覆盖这个路径。
对象：Gaussian elimination;pivoting;multiplier;back substitution;growth factor；公式：第 k 步乘子 m_ik=a_ik/a_kk，更新 a_ij←a_ij-m_ik a_kj、b_i←b_i-m_ik b_k。部分主元在 i≥k 中找 |a_ik| 最大行交换，回代 x_i=(b_i-Σ_{j>i}a_ijx_j)/a_ii。；基准：解 0.001x+y=1，x+y=2。若直接用 0.001 作主元，乘子为1000；交换两行后主元为1，消元得到 0.999y=0.998，故 y≈0.998999，x≈1.001001，避免大乘子。；边界：忘记同步交换 b 会得到看似有限却完全错误的解；原地覆盖 A 后再拿它算残差也会自证正确。必须保留原矩阵副本并用近奇异案例测试。
对象：QR;Householder;least squares;orthogonality;design matrix；公式：Householder 反射 H=I-2vv^T/(v^Tv) 把一列下方元素同时消零；连续反射得到 R。因 Q 正交，||Ax-b||=||Rx-Q^Tb||，尾部分量直接给残差。；基准：拟合 y=a+bx 到点 (0,1),(1,2),(2,2)。设计矩阵列为 1 和 x；QR 解得 b=0.5、a≈1.1667，残差向量约 (-0.1667,0.3333,-0.1667)。；边界：经典 Gram-Schmidt 在近共线列上丢正交性。用 x 与 x+10^-10z 两列测试，比较 ||Q^TQ-I||，可看出 Householder 更稳健。
对象：Cholesky;SPD;LLT;positive definiteness;energy norm；公式：逐列递推 l_jj=sqrt(a_jj-Σ_{k<j}l_jk²)，l_ij=(a_ij-Σ_{k<j}l_ik l_jk)/l_jj。根号内必须为正，这既是算法步骤也是正定性检查。；基准：A=[[4,2],[2,3]]：l11=2，l21=1，l22=sqrt(3-1)=sqrt2。对 b=(6,5)，先解 Ly=b，再解 L^Tx=y，得到 x=(1,1)。；边界：把“元素都为正”误当正定会失败，例如 [[1,2],[2,1]] 有负特征值。构造该矩阵应触发根号失败，而不是返回 NaN 后继续。
对象：power method;inverse iteration;Rayleigh quotient;eigen residual;spectral gap；公式：展开 x0=Σc_i v_i，则 A^k x0=λ1^k[c1v1+Σ c_i(λ_i/λ1)^k v_i]。若 |λ1|>|λ2| 且 c1≠0，方向误差按 |λ2/λ1|^k 衰减。；基准：A=diag(5,2)，x0=(1,1)。乘一次归一化方向比为 2/5，三次后为 (2/5)^3=0.064；Rayleigh 商从3.5逐步接近5。；边界：若初始向量恰与主本征向量正交，幂法永远看不到它；负主本征值还会让符号交替。测试必须覆盖正交初值与等模本征值。
对象：Jacobi;Gauss-Seidel;spectral radius;diagonal dominance;residual；公式：拆 A=D-L-U。Jacobi 为 x^{k+1}=D^-1[(L+U)x^k+b]；误差 e^{k+1}=B e^k，故 ρ(B)<1 才对任意初值收敛。严格对角占优是常用充分条件。；基准：A=[[4,1],[1,3]], b=(1,2)，从0开始，Jacobi 第一次 (0.25,0.6667)，第二次 (0.0833,0.5833)，逐步趋近精确解 (1/11,7/11)。；边界：对 A=[[1,2],[2,1]]，Jacobi 迭代谱半径为2，会发散。若程序只在十轮后输出数字而不报告残差历史，用户无法识别失败。
对象：sparse matrix;CSR;stencil;nnz;matrix-vector product；公式：一维二阶差分产生三对角矩阵，二维五点模板每行最多5个非零元。CSR 用 row_ptr 标记每行区间，col_idx 与 value 存列号和数值；矩阵向量乘复杂度 O(nnz)。；基准：100×100 二维网格有 n=10000 个未知量，五点矩阵约5n个非零；稠密双精度需约800 MB，而 CSR 数值与索引只需约1 MB量级。；边界：把周期边界的首尾连接漏掉会得到另一个物理问题；重复插入同一坐标若未累加，会悄悄覆盖系数。用3×3网格打印完整矩阵逐行核对。