1强连续半群
闭卷重建强连续半群的对象、量词、证明链、反例和条件。
泛函分析 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2生成元与抽象Cauchy问题
闭卷重建生成元与抽象Cauchy问题的对象、量词、证明链、反例和条件。
3Lax–Milgram定理
闭卷重建Lax–Milgram定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
4能量估计与稳定性
闭卷重建能量估计与稳定性的对象、量词、证明链、反例和条件。
5谱方法和演化方程
闭卷重建谱方法和演化方程的对象、量词、证明链、反例和条件。
6定理条件反查工作坊
闭卷重建定理条件反查工作坊的对象、量词、证明链、反例和条件。
7泛函分析综合答辩
闭卷重建泛函分析综合答辩的对象、量词、证明链、反例和条件。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：Ax=lim_{t↓0}(T(t)x-x)/t；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与生成元与抽象Cauchy问题有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-2要求写出实际数值或序列；条件：使用生成元与抽象Cauchy问题时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：T(t+s)=T(t)T(s)；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与强连续半群有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-1要求写出实际数值或序列；条件：使用强连续半群时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：能量不等式控制连续依赖；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与能量估计与稳定性有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-4要求写出实际数值或序列；条件：使用能量估计与稳定性时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：连续强制双线性型给唯一弱解；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Lax–Milgram定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-3要求写出实际数值或序列；条件：使用Lax–Milgram定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：结论前逐条验证空间与算子条件；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与定理条件反查工作坊有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-6要求写出实际数值或序列；条件：使用定理条件反查工作坊时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：谱分解把演化拆成模态；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与谱方法和演化方程有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-5要求写出实际数值或序列；条件：使用谱方法和演化方程时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：证明链必须区分引用和自证；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与泛函分析综合答辩有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号12-7要求写出实际数值或序列；条件：使用泛函分析综合答辩时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件