1内积、范数与平行四边形律
闭卷重建内积、范数与平行四边形律的对象、量词、证明链、反例和条件。
泛函分析 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2正交与勾股恒等式
闭卷重建正交与勾股恒等式的对象、量词、证明链、反例和条件。
3最佳逼近与投影定理
闭卷重建最佳逼近与投影定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
4正交补与闭子空间分解
闭卷重建正交补与闭子空间分解的对象、量词、证明链、反例和条件。
5Riesz表示定理
闭卷重建Riesz表示定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
6正交规范系与Parseval
闭卷重建正交规范系与Parseval的对象、量词、证明链、反例和条件。
7Gram–Schmidt实验
闭卷重建Gram–Schmidt实验的对象、量词、证明链、反例和条件。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：x⊥y推出平方范数可加；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与正交与勾股恒等式有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-2要求写出实际数值或序列；条件：使用正交与勾股恒等式时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：||x||²=<x,x>；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与内积、范数与平行四边形律有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-1要求写出实际数值或序列；条件：使用内积、范数与平行四边形律时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：H=M⊕M⊥；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与正交补与闭子空间分解有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-4要求写出实际数值或序列；条件：使用正交补与闭子空间分解时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：闭凸集存在唯一最近点；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与最佳逼近与投影定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-3要求写出实际数值或序列；条件：使用最佳逼近与投影定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：完备正交系给出Parseval；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与正交规范系与Parseval有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-6要求写出实际数值或序列；条件：使用正交规范系与Parseval时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：每个连续泛函由唯一内积向量表示；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Riesz表示定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-5要求写出实际数值或序列；条件：使用Riesz表示定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：正交化每步去掉已有投影；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Gram–Schmidt实验有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号6-7要求写出实际数值或序列；条件：使用Gram–Schmidt实验时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件