1稠密开集与Baire纲
闭卷重建稠密开集与Baire纲的对象、量词、证明链、反例和条件。
泛函分析 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2一致有界原理
闭卷重建一致有界原理的对象、量词、证明链、反例和条件。
3Banach–Steinhaus应用
闭卷重建Banach–Steinhaus应用的对象、量词、证明链、反例和条件。
4开映射定理
闭卷重建开映射定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
5有界逆定理
闭卷重建有界逆定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
6闭图定理
闭卷重建闭图定理的对象、量词、证明链、反例和条件。
7算子族增长实验
闭卷重建算子族增长实验的对象、量词、证明链、反例和条件。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：逐点有界推出范数一致有界；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与一致有界原理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-2要求写出实际数值或序列；条件：使用一致有界原理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：完备度量空间非可数个稀疏闭集之并；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与稠密开集与Baire纲有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-1要求写出实际数值或序列；条件：使用稠密开集与Baire纲时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：满射有界算子送开集为开集；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与开映射定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-4要求写出实际数值或序列；条件：使用开映射定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：条件必须对每个x成立；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Banach–Steinhaus应用有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-3要求写出实际数值或序列；条件：使用Banach–Steinhaus应用时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：闭图加Banach定义域和值域推出有界；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与闭图定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-6要求写出实际数值或序列；条件：使用闭图定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：双射有界算子逆有界；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与有界逆定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-5要求写出实际数值或序列；条件：使用有界逆定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：先比较逐点值再比较算子范数；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与算子族增长实验有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号4-7要求写出实际数值或序列；条件：使用算子族增长实验时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件