1从距离到范数
闭卷重建从距离到范数的对象、量词、证明链、反例和条件。
泛函分析 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2范数等价与有限维直觉
闭卷重建范数等价与有限维直觉的对象、量词、证明链、反例和条件。
3Banach空间和Cauchy列
闭卷重建Banach空间和Cauchy列的对象、量词、证明链、反例和条件。
4子空间、商空间与商范数
闭卷重建子空间、商空间与商范数的对象、量词、证明链、反例和条件。
5乘积空间与直和
闭卷重建乘积空间与直和的对象、量词、证明链、反例和条件。
6完备化的构造与唯一性
闭卷重建完备化的构造与唯一性的对象、量词、证明链、反例和条件。
7有限序列空间实验
闭卷重建有限序列空间实验的对象、量词、证明链、反例和条件。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：有限维所有范数诱导同一拓扑；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与范数等价与有限维直觉有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-2要求写出实际数值或序列；条件：使用范数等价与有限维直觉时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：||x||≥0且三角不等式；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与从距离到范数有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-1要求写出实际数值或序列；条件：使用从距离到范数时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：||x+M||=inf_{m∈M}||x+m||；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与子空间、商空间与商范数有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-4要求写出实际数值或序列；条件：使用子空间、商空间与商范数时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：Cauchy列在空间内收敛；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Banach空间和Cauchy列有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-3要求写出实际数值或序列；条件：使用Banach空间和Cauchy列时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：等距稠密嵌入到完备空间；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与完备化的构造与唯一性有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-6要求写出实际数值或序列；条件：使用完备化的构造与唯一性时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：有限积范数彼此等价；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与乘积空间与直和有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-5要求写出实际数值或序列；条件：使用乘积空间与直和时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件
核心：离散范数可逐项复算；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与有限序列空间实验有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号1-7要求写出实际数值或序列；条件：使用有限序列空间实验时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件