泛函分析 · 小纸条

核心：紧算子把有界列送到相对紧列；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与紧算子的定义和序列判据有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-2要求写出实际数值或序列；条件：使用紧算子的定义和序列判据时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：紧性要求任意序列有收敛子列；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与紧集与相对紧性有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-1要求写出实际数值或序列；条件：使用紧集与相对紧性时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：有界算子与紧算子复合仍紧；例题：在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与紧算子的理想性质有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-4要求写出实际数值或序列；条件：使用紧算子的理想性质时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：有限秩算子是紧的；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与有限秩逼近有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-3要求写出实际数值或序列；条件：使用有限秩逼近时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：I-K或单射或齐次方程有非零解；例题：在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与Fredholm择一定理有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-6要求写出实际数值或序列；条件：使用Fredholm择一定理时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：非零谱点只能离散聚到0；例题：在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与紧算子谱的初步结构有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-5要求写出实际数值或序列；条件：使用紧算子谱的初步结构时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件

核心：截断奇异方向得到低秩模型；例题：在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与低秩近似实验有关的范数、配对或谱量；反例：去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号7-7要求写出实际数值或序列；条件：使用低秩近似实验时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件