1Lp 等价类与范数
闭卷重建“Lp 等价类与范数”的对象、量词、条件与反例。
实分析与测度论 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2Hölder 不等式
闭卷重建“Hölder 不等式”的对象、量词、条件与反例。
3Minkowski 不等式
闭卷重建“Minkowski 不等式”的对象、量词、条件与反例。
4有限测度下的 Lq 包含
闭卷重建“有限测度下的 Lq 包含”的对象、量词、条件与反例。
5Lp 完备性
闭卷重建“Lp 完备性”的对象、量词、条件与反例。
6稠密性与截断逼近
闭卷重建“稠密性与截断逼近”的对象、量词、条件与反例。
7对偶性的入口
闭卷重建“对偶性的入口”的对象、量词、条件与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：共轭指数把乘积积分由两个范数控制；推演：从 Young 不等式归一化证明并检查等号；边界：p=1 与 p=∞ 要单独解释
核心：零距离函数按 a.e. 相等识别后才得到真正范数；推演：检查零测集修改不改变 Lp 范数；边界：把具体代表与等价类混淆会破坏正定性
核心：q 大的可积性在有限测度上推出 p 小的可积性；推演：对 |f| 与 1 应用 Hölder；边界：无限测度时包含关系通常失败
核心：把 Hölder 用到 |f+g| 的幂，得到三角不等式；推演：写出 p>1 的证明再处理端点；边界：不能把积分三角不等式误当点态等式
核心：简单函数、有限支撑及适当光滑函数逐层逼近 Lp 元素；推演：依次做幅值截断、空间截断和正则化；边界：p=∞ 的稠密结论不同
核心：Cauchy 列可抽绝对可求和子列并构造 a.e. 极限；推演：控制子列差的级数并回到原列；边界：只证点态极限存在还不够
核心：积分配对把 Lq 函数变成 Lp 上连续线性泛函；推演：用 Hölder 给出算子范数上界并构造近等号函数；边界：完整对偶定理需要额外表示论证