实分析与测度论 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 页 · 正面（题目）

1简单函数积分

闭卷重建“简单函数积分”的对象、量词、条件与反例。

2非负函数积分的上确界定义

闭卷重建“非负函数积分的上确界定义”的对象、量词、条件与反例。

3单调收敛定理

闭卷重建“单调收敛定理”的对象、量词、条件与反例。

4Fatou 引理

闭卷重建“Fatou 引理”的对象、量词、条件与反例。

5可积函数与正负部分

闭卷重建“可积函数与正负部分”的对象、量词、条件与反例。

6积分的绝对连续性

闭卷重建“积分的绝对连续性”的对象、量词、条件与反例。

7与 Riemann 积分的相容

闭卷重建“与 Riemann 积分的相容”的对象、量词、条件与反例。

第 1 页 · 背面（答案）

核心：取所有下方简单函数积分的上确界；推演：对阶梯逼近计算逐步上升的面积；边界：上确界可能为正无穷

核心：系数乘水平集测度并求和，把有限加法变成积分；推演：更换表示后共同细分验证不变性；边界：负系数尚未进入非负定义

核心：下极限积分不超过积分下极限，是单调收敛的稳健推论；推演：对尾部下确界序列应用 MCT；边界：不等式方向最容易写反

核心：非负递增函数列允许积分与极限交换；推演：从简单函数下逼近极限并固定误差；边界：非负和单调缺一不可

核心：可积函数在小测度集合上的积分一致变小；推演：先截断控制有界部分，再用尾部可积性；边界：逐点小不等于积分小

核心：正负部分积分都有限时定义差，等价于绝对值可积；推演：用 |f| 控制两部分并排除无穷减无穷；边界：有限积分值不自动代表可积

核心：有界 Riemann 可积函数的 Lebesgue 积分一致；推演：用上下阶梯函数夹逼；边界：Lebesgue 理论扩张而非否定 Riemann 理论