1库仑二体到约化质量
闭卷重建库仑二体到约化质量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
原子与分子物理 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2径向方程与角向分离
闭卷重建径向方程与角向分离的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3量子数与简并
闭卷重建量子数与简并的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4氢能级与波函数尺度
闭卷重建氢能级与波函数尺度的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5节点与径向概率
闭卷重建节点与径向概率的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：类氢能级与谱线
闭卷重建实验：类氢能级与谱线的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7实验：径向概率归一
闭卷重建实验：径向概率归一的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：球坐标分离 ψ=R_nl(r)Y_lm(θ,φ)，角向本征值 l(l+1)ħ² 进入有效径向势；算例/实验：从 Laplacian 写出 u=rR 的一维径向方程并说明 u(0)=0；反例：R 与 u 的归一化测度不同，不能共用同一积分。
核心：质心与相对坐标把电子—原子核二体问题约化为质量 μ 的粒子处在 -Ze²/(4πε0r) 势中；算例/实验：推导 μ 并比较 H、D 与无限重核的 Rydberg 常数；反例：把 μ 直接取 m_e 会漏掉同位素位移的主项。
核心：E_n=-μZ²e⁴/[2(4πε0)²ħ²n²]，典型半径随 n²/Z 增长；算例/实验：计算 He⁺ n=2 结合能与最概然半径，和 H 对比；反例：最概然半径、期望半径和径向概率峰位置不是同一量。
核心：n,l,m 的取值来自边界、正则性和角动量本征问题；非相对论 Coulomb 能量只依赖 n；算例/实验：列出 n=3 的全部空间态并计入自旋简并；反例：简并来自对称性，不是因为电子沿同一经典轨道。
核心：输入 Z、μ/m_e 和 n，输出 eV 能级与跃迁波长；算例/实验：用 H、D、He⁺ 和高n四组测试核验 Z² 与约化质量缩放；反例：高Z时相对论与核尺寸修正增大，简单公式有适用边界。
核心：角节点数 l，径向节点数 n-l-1；可观测径向分布为 P(r)=r²|R|²；算例/实验：画 1s、2s、2p 的 R 与 P，解释 2s 节点处符号改变而概率为零；反例：波函数正负不是电荷正负；相位只在干涉和矩阵元中显现。
核心：对给定指数型试探径向函数数值积分 r²|R|²并归一；算例/实验：比较网格、截断半径、指数参数和原点处理；反例：有限区间归一会丢尾部，误差必须随截断半径收敛。