数值方法与科学计算 · 小纸条

对象：谱方法、反问题与综合项目中“谱微分与混叠”的专属数学对象；公式：周期函数在频域微分：${\widehat{u_x}}_k=ik{\hat{u}}_k$；基准：u=sin(x)只含k=±1，乘ik逆变换得cos(x)；反例：非线性乘积产生超Nyquist频率折回低频，需2/3去混叠或补零

对象：谱方法、反问题与综合项目中“DFT与FFT模型”的专属数学对象；公式：$X_k={\sum }_{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-2\pi ikn/N}$，FFT将O(N²)降为O(NlogN)；基准：x=(1,1,1,1)的DFT为(4,0,0,0)；反例：频率索引、归一化和正负号约定不一致会让逆变换多N倍

对象：谱方法、反问题与综合项目中“反问题病态性”的专属数学对象；公式：小奇异值方向使 $x=A^{-1}b$ 将数据噪声放大 $1/{\sigma }_i$；基准：A=diag(1,.001)，b第二分量1e-4噪声使x误差.1；反例：残差拟合数据很好仍可完全不恢复真参数；需报可识别性

对象：谱方法、反问题与综合项目中“卷积与Poisson快速求解”的专属数学对象；公式：循环卷积在DFT下变逐点乘；Poisson中 ${\hat{u}}_k={\hat{f}}_k/{\lambda }_k$；基准：[1,2]与[3,4]的长2循环卷积为(11,10)；反例：Poisson零频特征值为0，需零均值f和固定解的平均值

对象：谱方法、反问题与综合项目中“参数估计与不确定度”的专属数学对象；公式：局部协方差近似 $Cov(\hat{\theta })\approx {\sigma }^2(J^{T}J{)}^{-1}$；基准：线性y=θx、x=(1,2)时J^TJ=5，噪声方差.1给参数方差.02；反例：非线性、边界或弱可识别时高斯局部近似失效，需profile/bootstrap

对象：谱方法、反问题与综合项目中“Tikhonov正则化”的专属数学对象；公式：${\min }_x\Vert Ax-b{\Vert }^2+\lambda \Vert Lx{\Vert }^2$，滤波因子 $\sigma /({\sigma }^2+\lambda )$；基准：σ=.001,λ=.01时逆放大从1000降到约.1；反例：λ过大会过度平滑、过小会放大噪声；不能用真未知解选λ

对象：从连续模型、离散、求解、验证到不确定性的证据链；公式：用制造解验证阶，用残差验代数解，用参数扫描验稳定边界；基准：取网格h=.2,.1,.05运行同一制造解，同时交付误差比、残差和运行命令；反例：只交最终图、不交原始结果/版本/命令/失败实验，无法被独立复现