数值方法与科学计算 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1线性最小二乘

闭卷重建《线性最小二乘》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2正规方程的条件数代价

闭卷重建《正规方程的条件数代价》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3Gram-Schmidt与QR

闭卷重建《Gram-Schmidt与QR》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4Householder变换

闭卷重建《Householder变换》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5加权与正则化拟合

闭卷重建《加权与正则化拟合》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6残差杠杆与异常值

闭卷重建《残差杠杆与异常值》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7拟合复现实验

闭卷重建《拟合复现实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：A^TA的谱与设计矩阵的奇异值；公式： $κ_{2} (A^{T} A) = κ_{2} (A)^{2}$ ；基准：A=diag(1,10^{-4})的条件数1e4，A^TA的条件数1e8；反例：“A^TA是对称的所以更稳”是错的；平方条件数会丢失有效位

对象：A的列空间与y的正交投影；公式： $min_{x} ∥ A x - b ∥_{2}^{2}$ ，一阶条件 $A^{T} (A x - b) = 0$ ；基准：A=(1,1)^T,b=(1,3)^T，常数拟合x=2，残差(-1,1)与A正交；反例：列不满秩时解不唯一；只报训练残差不说明预测能力

对象：Householder反射将向量的尾部归零；公式： $H = I - 2 v v^{T} / (v^{T} v)$ ，H^TH=I；基准：x=(3,4)，选v=x+5e1=(8,4)，Hx=(-5,0)；反例：v=x-||x||e1在x首分量为正且很大时可严重消去

对象：A的列向量正交化为A=QR；公式： $r_{ij} = q_{i}^{T} a_{j}, v_{j} = a_{j} - \sum_{i} r_{ij} q_{i}$ ；基准：a1=(1,0),a2=(1,1)得q1=(1,0),q2=(0,1),R=[[1,1],[0,1]]；反例：经典GS对近线性相关列丢失正交性

对象：帽子矩阵H=A(A^TA)^{-1}A^T与对角杠杆hii；公式： $e = (I - H) b ， \sum_{i} h_{ii} = p$ ；基准：两端点x=0,10比中间点x=5有更高杠杆，即使y残差不大也能强影响拟合；反例：只按大残差删点会漏掉高杠杆点，也可删掉真实新群体

对象：观测噪声权重W和参数复杂度惩罚；公式： $min_{x} ∥ W^{1/2} (A x - b) ∥^{2} + λ ∥ Lx ∥^{2}$ ；基准：两观测1和3，权重3:1的常数拟合为1.5，不是2；反例：用测试集选λ会泄漏；权重不是样本的主观重要性

对象：数据切分、设计矩阵版本、参数和残差诊断的证据链；公式： $R^{2} = 1 - S S E / S S T$ 不代替样本外误差；基准：用y=1+2x的3点作精确基准，再加一个异常点比较OLS和岭回归；反例：数据预处理在全集拟合，或只保存模型不保存字段口径