数值方法与科学计算 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1前向中心差分

闭卷重建《前向中心差分》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2Richardson外推

闭卷重建《Richardson外推》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3复步长微分

闭卷重建《复步长微分》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4复合梯形公式

闭卷重建《复合梯形公式》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5Simpson与高阶Newton-Cotes

闭卷重建《Simpson与高阶Newton-Cotes》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6Gaussian求积

闭卷重建《Gaussian求积》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7自适应积分实验

闭卷重建《自适应积分实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：用两个步长消去误差展开的首项；公式： $R = (2^{p} A (h /2) - A (h)) / (2^{p} - 1) = L + O (h^{p + 1})$ ；基准：若一阶近似A(h)=1.8,A(h/2)=1.9，外推得2.0；反例：不在渐近区或误差展开含非整数阶时，外推可恶化

对象：用有限函数值逼近导数；公式： $D_{+} = [f (x + h) - f (x)] / h = f^{'} (x) + O (h)$ ， $D_{0} = [f (x + h) - f (x - h)] / (2 h) = f^{'} (x) + O (h^{2})$ ；基准：f=x^2,x=1,h=0.1，前向得2.1，中心得2精确；反例：h过小时相减消去使误差反而上升

对象：把区间分成n段并累加局部梯形；公式： $T_{n} = h [\frac{1}{2} f (a) + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (a + ih) + \frac{1}{2} f (b)]$ ；基准：积分x^2从0到1，n=2,h=0.5，T=0.375，真值1/3；反例：忘记端点半权或n与h不一致；非光滑函数不显现二阶

对象：用解析函数的复数扰动避免实数相减；公式： $f^{'} (x) \approx I m [f (x + ih)] / h + O (h^{2})$ ；基准：f(x)=x^2,x=1,h=1e-20，Im[(1+ih)^2]/h=2，无 $f (x + h) - f (x)$ 消去；反例：abs、max、分支等非解析操作会破坏公式

对象：同样n个节点通过选正交多项式根达到最高2n-1次精确；公式： $\int_{- 1}^{1} f (x) d x \approx \sum_{i} w_{i} f (x_{i})$ ；基准：2点Gauss：x=±1/sqrt3,w=1，对f=x^2得2/3精确；反例：忘记区间映射的Jacobian；间断/尖峰函数需分段

对象：用等距节点的局部多项式精确积分；公式： $S = h /3 [f_{0} + 4 f_{1} + 2 f_{2} + \dots + 4 f_{n - 1} + f_{n}]$ ，n必须为偶数；基准：x^2在0到1,n=2，S=(0.5/3)(0+4·0.25+1)=1/3；反例：高阶闭型Newton-Cotes可出现负权和振荡，阶数高不代表稳定

对象：用嵌套规则差异估计局部误差并分配网格；公式： $E \approx ∣ S_{l e f t} + S_{r i g h t} - S_{w h o l e} ∣/15$ ；基准：对x^4在[0,1]，整段Simpson与两半段之差用来决定是否继续二分；反例：宽而窄的尖峰可被少数采样点完全漏掉；必须设最大深度