数值方法与科学计算 · 小纸条

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第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

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第 1 页 · 正面（题目）

1幂法与反幂法

闭卷重建《幂法与反幂法》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2Rayleigh商

闭卷重建《Rayleigh商》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3对称矩阵Jacobi旋转

闭卷重建《对称矩阵Jacobi旋转》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4QR迭代直觉

闭卷重建《QR迭代直觉》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5奇异值分解

闭卷重建《奇异值分解》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6低秩逼近与PCA

闭卷重建《低秩逼近与PCA》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7谱计算实验

闭卷重建《谱计算实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：特征值、奇异值与降维中“Rayleigh商”的专属数学对象；公式： $ρ (x) = x^{T} A x / (x^{T} x)$ ，对称A上取值介于最小/最大特征值；基准：A=diag(1,3),x=(1,1)，ρ=2，残差Ax-ρx=(-1,1)；反例：只看Rayleigh商变化小会在非特征向量上误停，必须报特征残差

对象：特征值、奇异值与降维中“幂法与反幂法”的专属数学对象；公式： $x_{k + 1} = A x_{k} /∥ A x_{k} ∥$ 收敛到主特征向量；反幂每步解Ay=x；基准：A=diag(3,1),x0=(1,1)，幂法一步方向(3,1)，逐步趋近e1；反例：主特征值模重复时方向不唯一；反幂不应每轮重复分解A

对象：特征值、奇异值与降维中“QR迭代直觉”的专属数学对象；公式： $A_{k} = Q_{k} R_{k}, A_{k + 1} = R_{k} Q_{k} = Q_{k}^{T} A_{k} Q_{k}$ ，保特征值；基准：对称2x2矩阵重复QR后非对角元趋零，对角趋特征值；反例：无shift的QR在特征值接近时很慢；实用算法需Hessenberg化和shift

对象：用Givens型正交旋转消去最大非对角元；公式： $A \leftarrow J^{T} A J$ ， $tan 2 θ = 2 a_{pq} / (a_{q q} - a_{pp})$ ；基准：A=[[2,1],[1,2]]取45度旋转得diag(1,3)；反例：非对称矩阵不能用同一相似旋转保证对角化

对象：Eckart-Young：截断SVD是Frobenius/2范数下最优秩k近似；公式： $∥ A - A_{k} ∥_{F}^{2} = \sum_{j > k} σ_{j}^{2}$ ；基准：奇异值(5,2,1)保留k=1时平方误差=4+1=5；反例：PCA未中心时首主成分可只指向均值；特征尺度不同会主导方差

对象：特征值、奇异值与降维中“奇异值分解”的专属数学对象；公式： $A = U Σ V^{T}$ ，奇异值是A^TA特征值平方根；基准：A=diag(3,1)的U=V=I,Σ=diag(3,1)；反例：直接形成A^TA会平方条件数；奇异向量符号不唯一

对象：特征值、奇异值与降维中“谱计算实验”的专属数学对象；公式： $∥ A v - λ v ∥/∥ v ∥$ 、正交性和重构误差是独立验收量；基准：对[[2,1],[1,2]]验证特征对1,(1,-1)和3,(1,1)；反例：特征向量方向看似不变不足以验收；重特征值下向量基可旋转