数值方法与科学计算 · 小纸条

对象：把方程改写为 $x=g(x)$ 并反复作用映射；公式：x_{k+1}=g(x_k),\quad |g'(x)|\le q<1；基准：求 $x=\cos x$，从 0.5 得 0.8776、0.6390、0.8027，振荡幅逐步缩小；反例：改写方式决定收敛；$g^{\prime }(x^{\ast })$ 绝对值大于 1 时会发散

对象：在 $[a,b]$ 上寻找 $f(x)=0$ 且 $f(a)f(b)\le 0$；公式：m=(a+b)/2，区间长度每步减半；基准：f(x)=x^2-2，[1,2] 首中点 1.5，f(1.5)>0，新区间 [1,1.5]；反例：偶重根不变号；不连续函数的符号跳变不保证有根

对象：用两个函数值的割线斜率替代导数；公式：x_{k+1}=x_k-f_k(x_k-x_{k-1})/(f_k-f_{k-1})；基准：x^2-2=0，x0=1,x1=2，得 x2=4/3，x3=1.4；反例：两个函数值太接近使分母近零；它不保持括区间

对象：用当前点切线的零点近似非线性根；公式：x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)；基准：x^2-2=0，x0=1，x1=1.5，x2=1.416667，x3≈1.414216；反例：初值远、导数近零或函数非光滑时可跳出定义域；局部二次收敛不是全局保证

对象：根的代数重数决定 Newton 的局部收敛速率；公式：重数m已知时 $x_{k+1}=x_k-mf/f^{\prime }$；基准：f(x)=(x-1)^2，x0=2，普通 Newton 得 1.5,1.25；修正 m=2 一步到 1；反例：重根时残差可很小而位置误差仍明显；仅看 |f| 会过早停止

对象：在二分法的全局安全性和 Newton/割线的局部速度间切换；公式：候选 $x_N$若越出[a,b]或改善不足，则用 $(a+b)/2$；基准：对 $x^3-2x+2$，Newton 可在 0 与 1 间循环；括区间回退保证区间继续缩小；反例：只在 Newton 产生 NaN 时才回退太晚；无有效括区间时不能声称全局保证

对象：求根器是括区间、快速提议、停止准则和失败状态的组合；公式：|b-a|\le atol+rtol|x| 且 |f(x)| 达标；基准：用 $x^2-2$、$(x-1{)}^2$、$1/x$和无根 $x^2+1$ 四类输入区分成功、重根、间断和无括区间；反例：把最大迭代后的最后数当成已收敛；不区分无根、不连续和数值溢出