数值方法与科学计算 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1伪随机与种子

闭卷重建《伪随机与种子》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2Monte Carlo积分

闭卷重建《Monte Carlo积分》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3重要性采样

闭卷重建《重要性采样》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4控制变量与对偶变量

闭卷重建《控制变量与对偶变量》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5MCMC与Metropolis

闭卷重建《MCMC与Metropolis》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6自相关有效样本量

闭卷重建《自相关有效样本量》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7随机实验复现

闭卷重建《随机实验复现》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：Monte Carlo与随机计算中“Monte Carlo积分”的专属数学对象；公式： $I = E [f (U)]$ ， $\hat{I} = n^{- 1} \sum f (U_{i})$ ， $S E = s / n$ ；基准：U~Unif(0,1),f(U)=U，n=4样本.1,.3,.7,.9均值.5；反例：误差通常O(n^-1/2)，维数不改收敛阶但方差可极大

对象：Monte Carlo与随机计算中“伪随机与种子”的专属数学对象；公式：伪随机生成器是确定状态转移 $s_{n + 1} = T (s_{n})$ ；基准：同seed=42的生成器应复现同序列，但不同算法/版本未必相同；反例：重复使用同一随机流同时调参和验收会过拟合随机性

对象：Monte Carlo与随机计算中“控制变量与对偶变量”的专属数学对象；公式： $\overset{μ}{^}_{c} = \overset{ˉ}{X} - c (\overset{ˉ}{Y} - E Y)$ ，理想c=Cov(X,Y)/Var(Y)；基准：估计E[U²]时用E[U]=.5作控制，U²与U正相关可降方差；反例：控制变量若与目标弱相关或c用同样本不当估计可增方差

对象：Monte Carlo与随机计算中“重要性采样”的专属数学对象；公式： $E_{p} [f] = E_{q} [f (X) p (X) / q (X)]$ ，q必须覆盖p支撑；基准：p上罕见事件可用偏向该区q采样，再乘权重p/q；反例：q=0而pf≠0的区域会产生无穷权重和不可修复偏差

对象：Monte Carlo与随机计算中“自相关有效样本量”的专属数学对象；公式： $E S S \approx N / [1 + 2 \sum_{k \geq 1} ρ_{k}]$ ；基准：N=1000且自相关和为4.5时ESS约100，不能当成1000独立样本；反例：短链的自相关截断不稳；只看单链ESS不能发现多模态未混合

对象：Monte Carlo与随机计算中“MCMC与Metropolis”的专属数学对象；公式： $α = min (1, π (y) q (x ∣ y) / [π (x) q (y ∣ x)])$ ；基准：对标准正态对称随机游走，从0提议1的接受率exp(-1/2)≈.6065；反例：接受率高不代表混合好；步长太小会高自相关，太大会多拒绝

对象：Monte Carlo与随机计算中“随机实验复现”的专属数学对象；公式：报告生成器、seed、样本数、估计量、SE/CI和诊断；基准：用10个固定seed独立重复而不是只重跑同一seed，检查区间覆盖；反例：固定seed只保证复现一条路径，不证明估计不确定性已充分评估