数值方法与科学计算 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 页 · 正面（题目）

1Gaussian消元与主元

闭卷重建《Gaussian消元与主元》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2LU分解与复用

闭卷重建《LU分解与复用》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3Cholesky与正定性

闭卷重建《Cholesky与正定性》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4带状三对角系统

闭卷重建《带状三对角系统》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5残差后向误差与改进

闭卷重建《残差后向误差与改进》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6稀疏存储与填充直觉

闭卷重建《稀疏存储与填充直觉》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7直接求解器实验

闭卷重建《直接求解器实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：LU分解与复用；公式：PA=LU，先 Ly=Pb 后 Ux=y；基准：A=[[2,1],[4,3]]得 L=[[1,0],[2,1]],U=[[2,1],[0,1]]；反例：不保存置换向量会把b的行顺序弄错

对象：Gaussian消元与主元；公式：A=LU，部分主元选 $∣ a_{ik} ∣$ 最大行；基准：[[0,1],[1,1]] 不换行首主元为0，换行后得 x=(1,1)；反例：不选主元可除零或放大舍入

对象：带状三对角系统；公式： $a_{i} x_{i - 1} + b_{i} x_{i} + c_{i} x_{i + 1} = d_{i}$ ，Thomas法O(n)；基准：[2,-1; -1,2]与d=(1,0)得x=(2/3,1/3)；反例：前扫分母近零时需主元或通用求解器

对象：Cholesky与正定性；公式：A=LL^T， $L_{j j} = a_{j j} - \sum L_{j k}^{2}$ ；基准：[[4,2],[2,3]]得 L=[[2,0],[1,sqrt2]]；反例：对称不等于正定；负根号是前提失败

对象：稀疏存储与填充直觉；公式：CSR用 values,colind,rowptr；fill-in是原零元变非零；基准：3x3三对角仅7个非零，CSR不存两个0；反例：只看原非零数会低估分解时填充

对象：残差后向误差与改进；公式：r=b-Ax，解 $A δ = r$ ，置 $x \leftarrow x + δ$ ；基准：A=diag(1,1000),x近似误差(0.01,0.01)，残差分量(0.01,10)显示尺度差；反例：小残差在大条件数下不保证小前向误差

对象：直接求解器实验；公式： $η = ∥ b - A x ∥/ (∥ A ∥∥ x ∥ + ∥ b ∥)$ ；基准：同一个2x2系统用消元、LU和精确解对比至少1e-12；反例：只验证Ax近似b而不测试奇异、近奇异和多右端