数值方法与科学计算 · 小纸条

对象：边值问题与椭圆型PDE中“有限差分边界处理”的专属数学对象；公式：y''(x_i)\approx(y_{i-1}-2y_i+y_{i+1})/h^2；基准：-y''=2,y(0)=y(1)=0，h=.5时内点方程2y1/h²=2，y1=.25；反例：边界节点还用内点模板会越界；单边差分可降低全局阶

对象：边值问题与椭圆型PDE中“射击法边值问题”的专属数学对象；公式：y''=f(x,y,y')，y(a)=α,y(b)=β；以初斜s为根参数；基准：y''=0,y(0)=0,y(1)=1，试s=.8得y(1)=.8，割线更正到s=1；反例：IVP对初斜极敏感时外层求根病态；多解时依赖初值

对象：边值问题与椭圆型PDE中“Dirichlet与Neumann边界”的专属数学对象；公式：Dirichlet给u；Neumann给 $\partial u/\partial n=g$；基准：一维u''=0,u(0)=0,u'(1)=1得u=x；后向差分(u_N-u_{N-1})/h=1；反例：纯Neumann Poisson解只差常数且需满足相容条件

对象：边值问题与椭圆型PDE中“Poisson方程五点格式”的专属数学对象；公式：-\Delta u=f，$(4u_{ij}-u_{i\pm 1,j}-u_{i,j\pm 1})/h^2=f_{ij}$；基准：单个内点、四周边界0且f=4，h=1时得4u=4，u=1；反例：网格编号与几何邻接错位；非矩形边界不能硬套五点

对象：边值问题与椭圆型PDE中“网格收敛与制造解”的专属数学对象；公式：先选u^*，代入算f与边界，观测 $p=\log (e_h/e_{h/2})/\log 2$；基准：u=sin(πx)sin(πy)，-Δu=2π²u，可精确计算网格误差；反例：制造解太光滑可漏掉实际非光滑边界；代码同错会自我验证

对象：边值问题与椭圆型PDE中“离散最大值原理”的专属数学对象；公式：调和内点 $u_{ij}$ 是四邻点平均，极值在边界；基准：单内点四边值0,1,2,3，调和u=1.5，介于边界极值；反例：非M矩阵离散或粗网格对流优势时可产生超调

对象：边值问题与椭圆型PDE中“椭圆PDE实验”的专属数学对象；公式：$\Vert r_h\Vert$ 验证代数求解，$\Vert u_h-u^{\ast }\Vert$ 验证离散；基准：网格 h=.25,.125 误差 .01,.0025 显示二阶，同时残差达1e-10；反例：只把线性残差解得很小不代表PDE网格误差小