数值方法与科学计算 · 小纸条

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第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1Lagrange插值

闭卷重建《Lagrange插值》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2Newton差商

闭卷重建《Newton差商》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3插值误差项

闭卷重建《插值误差项》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4Runge现象与节点选择

闭卷重建《Runge现象与节点选择》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5分段线性与三次样条

闭卷重建《分段线性与三次样条》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6Chebyshev逼近

闭卷重建《Chebyshev逼近》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7插值样条实验

闭卷重建《插值样条实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：通过递推差商构造嵌套插值多项式；公式： $p (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + \dots$ ；基准：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=4，一阶差商1,3，二阶1，p=x+x(x-1)=x^2；反例：节点过近会放大差商舍入；未排清节点顺序就误读系数

对象：给定互异节点上唯一的次数≤n插值多项式；公式：$p(x)=\sum_i y_i\prod_{j
e i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$；基准：(0,0),(1,1)的基函L0=1-x,L1=x，p(0.25)=0.25；反例：直接展开高次多项式计算量大且不稳；重复节点使分母为0

对象：等距高次插值在区间端点产生大振荡；公式：Chebyshev节点 $x_{k} = cos ((2 k + 1) π / [2 (n + 1)])$ 压低最大节点乘积；基准：f(x)=1/(1+25x^2)上增加等距节点可使端点更差，换Chebyshev节点明显稳定；反例：插值点上误差恒为0，不能用它证明区间内稳定

对象：插值余项由高阶导数和节点乘积共同决定；公式： $f (x) - p_{n} (x) = f^{(n + 1)} (ξ) \prod_{i} (x - x_{i}) / (n + 1)!$ ；基准：线性插值e^x在0,1中点0.5，余项为e^ξ(0.5)(-0.5)/2，绝对值≤e/8；反例：函数不够光滑时余项前提失效；高次不自动意味误差小

对象：在[-1,1]上用正交多项式基压低一致误差；公式： $T_{k} (x) = cos (k arccos x)$ ， $T_{k + 1} = 2 x T_{k} - T_{k - 1}$ ；基准：x=0.5时T0=1,T1=0.5,T2=-0.5,T3=-1；反例：忘记区间映射；在|x|>1外推时Tk会快速增长

对象：在局部区间上用低次多项式并施加连续性；公式： $S, S^{'}, S^{''}$ 在内节点连续，配自然边界 $S^{''} (a) = S^{''} (b) = 0$ ；基准：(0,0),(1,1),(2,0)的分段线性在0.5为0.5，在1.5也为0.5；反例：未指定边界条件时三次样条不唯一；外推可迅速失真

对象：节点误差、稠密网格最大误差与导数连续性的对照；公式： $E_{\infty} = max_{j} ∣ f (z_{j}) - p (z_{j}) ∣$ ；基准：用Runge函数分别做10次等距插值、Chebyshev插值和样条，比较端点误差；反例：只用各方法自己的节点作验证会得到全部0误差