数值方法与科学计算 · 小纸条

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第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1Jacobi迭代

闭卷重建《Jacobi迭代》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2Gauss-Seidel与SOR

闭卷重建《Gauss-Seidel与SOR》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3收敛与谱半径

闭卷重建《收敛与谱半径》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4共轭梯度

闭卷重建《共轭梯度》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5预条件思想

闭卷重建《预条件思想》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6稀疏矩阵向量乘

闭卷重建《稀疏矩阵向量乘》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7迭代求解实验

闭卷重建《迭代求解实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：Gauss-Seidel与SOR；公式： $(D + ω L) x^{k + 1} = ω b - [ω U + (ω - 1) D] x^{k}$ ；基准：上例从0出发，GS先x1=0.25，再x2=(2-0.25)/3=0.5833；反例：ω不在(0,2)对SPD常失去收敛；最优ω依赖问题

对象：Jacobi迭代；公式： $x^{k + 1} = D^{- 1} (b - (L + U) x^{k})$ ；基准：[[4,1],[1,3]]x=(1,2),x0=0，第一步(1/4,2/3)；反例：零对角或迭代矩阵谱半径≥1时失败

对象：共轭梯度；公式：SPD系统上最小化 $ϕ (x) = \frac{1}{2} x^{T} A x - b^{T} x$ ， $α_{k} = r_{k}^{T} r_{k} / (p_{k}^{T} A p_{k})$ ；基准：A=diag(1,4),b=(1,4),x0=0，首方向p=b，α=17/65；反例：非对称或不正定时p^TAp可非正；有限精度会丢失A共轭

对象：收敛与谱半径；公式：定常迭代 e^{k+1}=Ge^k，当且仅当 $ρ (G) < 1$ 收敛；基准：G=diag(0.5,-0.2)，误差分量每轮乘0.5和-0.2；反例：某个矩阵范数>1不等于必发散；非正规G可先暂态增长

对象：稀疏矩阵向量乘；公式：CSR中 $y_{i} = \sum_{k = r o w pt r_{i}}^{r o w pt r_{i + 1} - 1} v a l u e s_{k} x_{co l_{k}}$ ；基准：A=[[2,0,3],[0,4,0]],x=(1,2,3)，y=(11,8)；反例：列索引错位或行指针非单调；不规则访存可限制带宽

对象：预条件思想；公式：解 $M^{- 1} A x = M^{- 1} b$ ，PCG实际用 $M z = r$ ，目标是让 $M^{- 1} A$ 谱聚集且 $κ$ 变小；基准：A=diag(1,100),b=(1,100)；M=diag(A)时 $M^{- 1} A = I$ ，条件数从100降到1，一步得x=(1,1)；反例：Jacobi在强非对角耦合下改善弱；ILU可填充/分解失败；M非SPD会破坏PCG

对象：迭代求解实验；公式： $∥ r_{k} ∥/∥ b ∥$ 、迭代次数、SpMV次数与真误差对照；基准：对角A取条件数1,100,10000，观察CG速度，再加Jacobi预条件；反例：只比迭代次数而忽略预条件构造与每步求解成本