数值方法与科学计算 · 小纸条

选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。

第 1 章7 第 2 章7 第 3 章7 第 4 章7 第 5 章7 第 6 章7 第 7 章7 第 8 章7 第 9 章7 第 10 章7 第 11 章7 第 12 章7 第 13 章7 第 14 章7

只印题目

第 1 页 · 正面（题目）

1Euler法与局部误差

闭卷重建《Euler法与局部误差》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2改进Euler与中点法

闭卷重建《改进Euler与中点法》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3经典RK4

闭卷重建《经典RK4》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4稳定域与刚性

闭卷重建《稳定域与刚性》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5隐式Euler与Newton内迭代

闭卷重建《隐式Euler与Newton内迭代》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6自适应步长与误差估计

闭卷重建《自适应步长与误差估计》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7ODE求解器实验

闭卷重建《ODE求解器实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：用预测斜率近似步内平均斜率；公式： $y_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{2} (k_{1} + k_{2})$ 或 $y_{n} + h f (t + h /2, y + h k_{1} /2)$ ；基准：y'=y,y0=1,h=.1，Heun的k1=1,k2=1.1，y1=1.105；反例：中点法与Heun都二阶但中间状态不同；不能混用系数

对象：对y'=f(t,y)用左端斜率前进一步；公式： $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})$ ，局部O(h^2)、全局O(h)；基准：y'=y,y0=1,h=0.1，一步y1=1.1，精确e^.1≈1.10517；反例：全局一阶不是局部一阶；对刚性衰减问题大h可数值爆炸

对象：在测试方程y'=λy上研究放大因子R(z)；公式： $y_{n + 1} = R (hλ) y_{n}$ ，稳定要求|R(hλ)|≤1；基准：显式Euler的R=1+z，λ=-100,h=.03得R=-2，真解衰减而数值解增长；反例：步长很小才稳定不等于误差已满足；稳定性与精度是两个问题

对象：用四个分段斜率近似步内积分；公式： $y_{n + 1} = y_{n} + h (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) /6$ ；基准：y'=y,y0=1,h=.1，k1=1,k2=1.05,k3=1.0525,k4=1.10525，y1≈1.1051708；反例：把k_i定义为f还是hf混淆会多乘或少乘h

对象：嵌套Runge-Kutta对共享斜率给出高低阶两个解；公式： $h_{n e w} = s h (t o l / er r)^{1/ (p + 1)}$ 并设上下界；基准：若p=4,err=32tol，不考虑安全因子时h_new=h/2；反例：只用绝对容差会忽略大尺度分量；不h限幅会来回振荡

对象：新状态出现在右端，每步解非线性方程；公式： $F (y) = y - y_{n} - h f (t_{n + 1}, y) = 0$ ；基准：y'=-100y,h=.1，隐式Euler y1=1/(1+10)=.0909，保持衰减；反例：内Newton未收敛却仍接受时间步；内容差过松会污染外层误差

对象：精度、稳定性、函数评估次数和事件的综合验收；公式： $e_{h} = max_{n} ∣ y (t_{n}) - y_{n} ∣$ 与观测阶p；基准：对y'=y比Euler/RK4阶，对y'=-100y比显隐稳定性；反例：只在容易的非刚性问题上凭最终点误差排名