数值方法与科学计算 · 小纸条

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第 1 页 · 正面（题目）

1热方程显式格式

闭卷重建《热方程显式格式》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

2CFL稳定条件

闭卷重建《CFL稳定条件》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

3热方程隐式格式

闭卷重建《热方程隐式格式》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

4Crank-Nicolson

闭卷重建《Crank-Nicolson》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

5波动方程与能量

闭卷重建《波动方程与能量》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

6输运方程与数值耗散

闭卷重建《输运方程与数值耗散》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

7时间PDE实验

闭卷重建《时间PDE实验》的对象、公式、手算基准、算法状态、误差与失败边界。

第 1 页 · 背面（答案）

对象：抛物型与双曲型PDE中“CFL稳定条件”的专属数学对象；公式：一维热方程FTCS要求 $μ = α Δ t /Δ x^{2} \leq 1/2$ ；基准：α=1,Δx=.1时Δt≤.005；取.01得μ=1可振荡爆炸；反例：网格减半但时间步不减四倍会越过稳定界

对象：抛物型与双曲型PDE中“热方程显式格式”的专属数学对象；公式： $u_{i}^{n + 1} = u_{i}^{n} + μ (u_{i - 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i + 1}^{n})$ ；基准： $u^{n} = (0, 1, 0), μ = .25$ 得中点u^{n+1}=.5，相邻内点获得.25；反例：时间层原地更新会混用n/n+1层；需双缓冲

对象：抛物型与双曲型PDE中“Crank-Nicolson”的专属数学对象；公式： $(I - μL /2) u^{n + 1} = (I + μL /2) u^{n}$ ，时间二阶；基准：单衰减y'=-2y,h=.5，放大因子(1-.5)/(1+.5)=1/3；反例：对非光滑初值大步长可出现无衰减振荡，可先用Rannacher步

对象：抛物型与双曲型PDE中“热方程隐式格式”的专属数学对象；公式： $(I - μL) u^{n + 1} = u^{n}$ ，后向Euler A稳定；基准：单内点、边界0、μ=1，(1+2μ)u^{n+1}=1得u=1/3；反例：无条件稳定不等于大步长精确；每步线性系统仍要解到合理容差

对象：抛物型与双曲型PDE中“输运方程与数值耗散”的专属数学对象；公式： $u_{t} + a u_{x} = 0$ ，a>0的一阶迎风 $u_i^{n+1}=u_i^n-
u(u_i^n-u_{i-1}^n)$；基准：ν=.5，脉冲(0,1,0)一步变(0,.5,.5)，显示向右运动且变平；反例：中心差分无耗散但对纯输运可不稳；迎风方向取反会发散

对象：抛物型与双曲型PDE中“波动方程与能量”的专属数学对象；公式： $u_{i}^{n + 1} = 2 u_{i}^{n} - u_{i}^{n - 1} + c^{2} Δ t^{2} δ_{xx} u_{i}^{n}$ ， $c Δ t /Δ x \leq 1$ ；基准：c=1,Δx=.1,Δt=.1处在CFL边界，信息每步移一格；反例：忘记用初速度构造第一时间层；越CFL后离散能量增长

对象：同时验收空间阶、时间阶、CFL和守恒/能量；公式： $e (h, Δ t)$ 需通过分别缩小h与Δt来分离误差；基准：热方程制造解u=e^{-π²t}sin(πx)，取h=.2与.1、Δt固定为.001，可单独验证空间阶；反例：同h与Δt一起改变时无法判定观测阶来自空间还是时间