数值方法与科学计算 · 小纸条

对象：真值 $x$、近似 $\hat{x}$、前向误差和能使近似成为精确解的输入扰动；公式：绝对误差 $|x-\hat{x}|$，相对误差 $|x-\hat{x}|/|x|$；基准：真值 100，近似 99.8：绝对误差 0.2，相对误差 0.002；若真值 0.1，同样 0.2 就很大；反例：真值近零时只报相对误差；小后向误差也不能消除问题病态性

对象：二进制浮点 $x=(-1{)}^s(1.f{)}_2{2}^e$，机器精度 $u$；公式：$fl(a\circ b)=(a\circ b)(1+\delta ),|\delta |\le u$；基准：单精度中 $2^{24}+1$ 舍入回 $2^{24}$，所以再减 $2^{24}$ 得 0 而不是 1；反例：把十进制小数当成可精确二进制表示，或用 == 比较计算结果

对象：问题映射 $y=f(x)$ 对输入扰动的固有放大；公式：\kappa_f(x)=|x f'(x)/f(x)|，线性系统用 $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$；基准：对 $f(x)=1/(1-x)$，x=0.99 时条件数约 99，输入 0.1% 扰动可放大到约 9.9%；反例：把算法不稳定与问题病态混为一谈；换算法不会改变问题本身的条件数

对象：相近大数相减造成有效数字丢失；公式：$(1-\cos x)/x^2={\sin }^{2}x/[x^2(1+\cos x)]$；基准：当 $x=10^{-8}$，直接算 $1-\cos x$ 可舍入为 0，稳定改写趋近 0.5；反例：只增加迭代次数无法找回已在表达式中消去的有效位

对象：用网格加密的误差比反推方法阶数和有效数字；公式：p\approx\log(e_h/e_{h/r})/\log r；基准：步长从 0.1 减到 0.05，误差从 $4\times 10^{-3}$ 降到 $10^{-3}$，$r=2$ 得 p=2；反例：粗网格尚未进入渐近区，过细又可被舍入误差主导；两个点不足以确认阶数

对象：计算图上每一步的局部舍入如何传到输出；公式：\Delta y\approx J_f(x)\Delta x，混合停止用 $\Vert r_k\Vert \le atol+rtol\Vert b\Vert$；基准：求解量级 $10^6$ 的系统，atol=$10^{-8}$ 过严；rtol=$10^{-6}$ 给出约 1 的尺度化阈值；反例：只用步长变化停止会在停滞时误报收敛；只用相对量在真解近零时失效

对象：可复现基线是固定问题、数据、软件环境与验收量的独立参照；公式：hash(input), version, seed, tolerance, residual history；基准：同一 $2\times 2$ 系统保存精确解 (1,2)、残差、Python 版本和运行命令，换平台仍能复核；反例：只保存一张图或最快一次时间；随机数无 seed；容差不记绝对/相对口径