三角函数的积分真题篇

接住上一课

基础篇处理sin、cos幂。本课处理tan与sec的组合，要求先写成可识别导数，不靠记忆模糊的公式。

教师带你完成主模型

计算∫_0^{π/4}tan x dx。tan x=sin x/cos x，令u=cos x、du=-sin x dx，原函数-ln|cos x|。代边界得-ln(√2/2)=ln√2=(1/2)ln2。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

也可记∫tan x dx=-ln|cos x|=ln|sec x|。两式只差恒等变形。被积函数在区间非负，答案应为正且小于区间长度π/4。

我会追问的易错点

把tan的原函数写成ln|cos x|会漏负号；把ln√2写成ln2也会多一倍。最终应化简并做量级检查。

迁移到下一题

计算∫_0^{π/4}cot(x+π/4)dx，先检查区间内是否存在奇点。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。