利用分部积分法求不定积分基础篇

接住上一课

换元法反转链式法则；分部积分法反转乘积求导。遇到多项式乘指数、三角或对数时，选择一部分求导变简单，另一部分容易积分。

教师带你完成主模型

由(uv)'=u'v+uv'得到∫u dv=uv-∫v du。计算∫x e^x dx，取u=x、dv=e^x dx，则du=dx、v=e^x，结果xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C。0到1的定积分为1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

对结果e^x(x-1)求导得到e^x(x-1)+e^x=xe^x。选择u=x是因为求导后次数下降；若反选u=e^x不会简化。

我会追问的易错点

分部公式中第二项是减号。另一个错误是dv只取函数却漏dx，导致v的积分对象不明确。

迁移到下一题

用分部积分求∫x cos x dx，完成后求导检查；比较u=x与u=cos x哪种选择更短。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。