利用换元法求不定积分基础篇

接住上一课

理论篇看见了完整内层导数。本课处理只差常数倍或可以拆出内层导数的情形，训练‘先圈内层，再在旁边找它的微分’。

教师带你完成主模型

计算∫x/(1+x²)dx。令u=1+x²，则du=2x dx，原积分=(1/2)∫du/u=(1/2)ln u+C=(1/2)ln(1+x²)+C。0到1的值为(1/2)ln2。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

对数真数1+x²恒正，所以无需绝对值；一般∫g'(x)/g(x)dx=ln|g(x)|+C，绝对值来自g可能正也可能负。

我会追问的易错点

漏掉1/2是换元题最常见的系数错误。写du=2x dx后，明确x dx=du/2，不要靠心算跳步。

迁移到下一题

计算∫3x²/(1+x³)dx，并说明为什么答案是ln|1+x³|而不是其三倍。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。