利用换元法求不定积分强化篇（第2组）

接住上一课

第一组处理三角内层。本组处理幂与根式：目标是让根式内部成为u，同时让外面的幂恰好组成du。

教师带你完成主模型

计算∫_0^1 x²sqrt(1+x³)dx。令u=1+x³，du=3x²dx，边界1到2。积分=(1/3)∫_1^2u^{1/2}du=(2/9)[u^{3/2}]_1^2=(2/9)(2sqrt2-1)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

结果约0.406。原被积函数在[0,1]非负且不超过sqrt2·x²，积分应在0与sqrt2/3约0.471之间，量级吻合。

我会追问的易错点

把∫sqrt(u)du写成u^{3/2}/3/2会产生括号歧义，最好明确写(2/3)u^{3/2}。定积分换元后不要忘记整体1/3。

迁移到下一题

计算∫_0^1 x³(1+x⁴)²dx，换元后先预测答案范围，再做精确计算。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。