利用换元法求不定积分真题篇

接住上一课

两组强化分别处理三角和根式。真题篇训练反向识别：有时换元后还需代数整理，不能看到一个括号就立即换。

教师带你完成主模型

计算∫_0^1 dx/(1+x)²。令u=1+x，边界1到2，得∫_1^2u^{-2}du=[-u^{-1}]_1^2=1/2。也可直接识别(1+x)^{-2}的原函数。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

被积函数从1降到1/4，区间长1，积分1/2位于1/4和1之间，合理。单调性给出的上下界是快速验算。

我会追问的易错点

幂积分把-2加1得到-1后，还要除以-1，所以原函数带负号。漏负号会导致定积分为负，与正函数矛盾。

迁移到下一题

计算∫_0^1 dx/(2+x)²，并用单调函数上下界检查精确值，同时写明换元后的边界与结果符号。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。