三角函数的积分基础篇

接住上一课

有理函数靠代数分解，三角积分靠奇偶性和恒等式。先观察sin、cos的幂次，再决定留一个微分因子还是降幂。

教师带你完成主模型

计算∫_0^{π/2}sin³x dx。拆成sin x(1-cos²x)，令u=cos x、du=-sin x dx，边界1到0，得到∫_0^1(1-u²)du=2/3。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

sin幂为奇数时留一个sin x，其余用1-cos²x；cos奇数同理。两者都是偶数时使用半角公式降幂。

我会追问的易错点

把sin²x写成1-cos x而非1-cos²x，或换元后忘记反向边界，都会直接改变答案符号。

迁移到下一题

计算∫_0^{π/2}cos³x dx，并利用区间对称性预测应与本题相同。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。