有理函数的积分基础篇

接住上一课

换元和分部积分解决复合与乘积。本课进入有理函数：先比较分子分母次数，再因式分解分母，把复杂分式拆成基本分式。

教师带你完成主模型

计算∫dx/[(x+1)(x+2)]。设1/[(x+1)(x+2)]=A/(x+1)+B/(x+2)，代入得A=1、B=-1，所以原函数ln|x+1|-ln|x+2|+C。0到1的值为ln2-ln3-[ln1-ln2]=ln(4/3)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

部分分式系数可用通分比较系数，也可代分母零点快速求。完成后必须重新通分核对，避免A、B符号互换。

我会追问的易错点

分子次数不低于分母时应先做多项式除法；直接部分分式会漏掉多项式部分。对数项还要保留绝对值和不跨极点的区间。

迁移到下一题

分解并积分(3x+5)/[(x+1)(x+2)]，再用通分与求导双重检查。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。