最简单的积分基础篇

接住上一课

理论篇已经明确不定积分是一族原函数。本课先把线性性质与基本积分表练成可执行步骤：拆项、提出常数、逐项积分、统一补一个C。

教师带你完成主模型

由∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f+b∫g，计算∫(2x+1)dx=x²+x+C。若用定积分检查0到1的净积累，则[x²+x]_0^1=2。原函数求导回去得到2x+1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

幂函数公式∫x^αdx=x^{α+1}/(α+1)+C要求α≠-1；α=-1时是ln|x|+C。线性组合只写一个积分常数，因为多个常数之和仍是任意常数。

我会追问的易错点

常见错误是指数加1却忘记除以新指数，或每一项都写C后当作多个独立参数。完成后逐项求导，是最便宜也最可靠的验算。

迁移到下一题

求∫(3x²-4/x+cos x)dx，注明x所在区间，并用导数检查绝对值对数项。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。