最简单的积分强化篇

接住上一课

基础篇逐项套基本表。本课训练先做代数整理：分式拆项、负指数和根式幂化之后，很多‘新题’仍是直接积分。

教师带你完成主模型

计算∫(3x²+2x+1)dx=x³+x²+x+C。对应0到1的定积分为1+1+1=3。若题目写成(3x⁴+2x³+x²)/x²，先在x≠0处约成同一多项式，再积分。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

根式sqrt(x)=x^{1/2}，1/x³=x^{-3}，先统一成幂可减少表格负担。但化简必须保留定义域；约掉的零点不能悄悄加入原函数讨论区间。

我会追问的易错点

把积分的线性性误用到乘积上，例如∫fg=∫f·∫g，是严重错误。乘积需要结构识别，不能逐因子积分。

迁移到下一题

先化简再求∫[(x+1)²/x²]dx，展开成1+2/x+1/x²，并说明定义区间不跨0。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。