利用分部积分法求不定积分真题篇

接住上一课

强化篇处理重复分部。本课训练定积分边界与三角函数：分部后不仅要算剩余积分，还要在完整乘积项上代上下限。

教师带你完成主模型

计算∫_0^{π/2}x sin x dx。取u=x、dv=sin x dx，则du=dx、v=-cos x。结果[-x cos x]_0^{π/2}+∫_0^{π/2}cos x dx=0+1=1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

被积函数在区间非负，所以答案应正。乘积边界项两端都为0：上端cos(π/2)=0，下端x=0。不能只看其中一端。

我会追问的易错点

把v写成cos x会导致全局符号错；定积分分部后忘记给uv项加边界也是高频失分。先写带边界的公式再代值。

迁移到下一题

计算∫_0^π x sin x dx，预测其值与区间对称性的关系，再完整分部验证。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。