1非线性相图与局部线性化
闭卷重建非线性相图与局部线性化的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2Poincaré 截面
闭卷重建Poincaré 截面的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3Lyapunov 指数
闭卷重建Lyapunov 指数的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4KAM 与共振图景
闭卷重建KAM 与共振图景的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5双摆：从方程到可信数值
闭卷重建双摆：从方程到可信数值的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：Lyapunov 指数与收敛
闭卷重建实验：Lyapunov 指数与收敛的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7综合项目与口试
闭卷重建综合项目与口试的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：周期驱动系统按固定相位采样，把连续流降为离散映射；周期轨道、环面和混沌分别呈有限点、闭曲线和散点层；算例/实验：为受迫摆定义采样相位，解释为什么不能按任意时间间隔混采；反例：散点图像复杂不等于已证明混沌，还需收敛、瞬态和数值误差检查。
核心：自治系统 xdot=f(x) 的固定点由 f=0 给出，Jacobian 特征值判局部稳定；非双曲点需更高阶分析；算例/实验：对非线性摆和捕食模型各求固定点、Jacobian 与局部类型；反例：线性化只给局部结论，不能直接宣称全局吸引域。
核心：可积 Hamilton 系统受小扰动后，足够非共振的部分不变环面保留，共振附近先破裂形成岛链与混沌层；算例/实验：用标准映射观察 K 从小到大时相空间结构变化并定位低阶共振；反例：KAM 有光滑性与非退化条件，不能简化成小扰动永远不混沌。
核心：相邻轨道距离 δ(t)≈δ0e^{λt}；最大 λ>0 表示敏感依赖，但计算需周期重标定避免溢出；算例/实验：对 logistic 映射实现切向迭代 λ≈N^{-1}Σln|f'(x_n)|；反例：有限时间正指数可能是瞬态；距离饱和后直接拟合会低估。
核心：实现 logistic 映射的最大 Lyapunov 指数，丢弃瞬态并比较样本长度；算例/实验：对周期、临界附近、混沌和越界参数四组测试输出指数或 ERROR；反例：导数为零产生 -∞，代码必须定义处理；参数域与初值范围要验证。
核心：双摆以质量矩阵形式 M(q)qddot=h(q,qdot) 求加速度，数值实验同时监测能量、步长与初值敏感性；算例/实验：从 L 推导耦合方程，比较近邻初值的分离并做步长减半；反例：两条轨道分开不自动证明物理混沌，数值误差也会造成分离。
核心：项目从一个受约束或非线性系统出发，提交坐标/约束、变分推导、Hamilton 结构、数值积分、守恒量漂移、反例与复现说明；算例/实验：可选双摆、陀螺、中心力散射或耦合振子，现场更换参数运行隐藏测试并解释首个偏差；反例：动画美观、公式数量和代码行数都不能替代可复算推导、四组测试与误差证据。