1刚体构型与转动群
闭卷重建刚体构型与转动群的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2惯量张量
闭卷重建惯量张量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3Euler 角与角速度
闭卷重建Euler 角与角速度的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4Euler 方程
闭卷重建Euler 方程的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5对称陀螺的进动
闭卷重建对称陀螺的进动的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：旋转矩阵与正交漂移
闭卷重建实验：旋转矩阵与正交漂移的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7网球拍定理与稳定轴
闭卷重建网球拍定理与稳定轴的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：T_rot=1/2 ω^T I ω，I=∫(r²1-rr^T)dm；主轴使实对称 I 对角化；算例/实验：计算细杆、圆盘和长方体惯量，并用平行轴定理迁移；反例：惯量依赖参考点；质心惯量与任意点惯量不能直接替换。
核心：刚体姿态由 R∈SO(3) 表示，满足 R^TR=I、detR=1；角速度是 Rdot R^T 或 R^T Rdot 的反对称矩阵；算例/实验：从小转动推导反对称生成元与角速度叉乘算子；反例：有限转动一般不交换，不能把三个大角度当普通向量相加。
核心：在主轴体坐标中 I1ωdot1+(I3-I2)ω2ω3=N1，并循环置换；算例/实验：从 dL/dt 的空间导数与体坐标导数关系推导三条 Euler 方程；反例：体坐标中 L 的分量变化不代表空间总角动量不守恒。
核心：选定 z-x'-z'' 或其他约定后，角速度是三个瞬时转轴贡献之和，并可投影到体轴；算例/实验：明确约定后推导 ω1、ω2、ω3 与 φdot、θdot、ψdot 的关系；反例：不同教材 Euler 角顺序不同；不声明约定会产生看似矛盾的公式。
核心：连续乘小旋转后检查 R^TR-I 与 detR，并用 Gram–Schmidt 或四元数控制数值漂移；算例/实验：对三个轴转动组合输出姿态矩阵、正交误差和行列式；反例：重正交会修改数值轨道；必须量化修正而非悄悄覆盖。
核心：I1=I2 时，重力矩与角动量几何给出稳进动；快速陀螺近似 Ω≈Mgl/L；算例/实验：从 Euler 角 Lagrangian 找三个循环量，化成 θ 的有效势；反例：快速进动公式有小章动和大自旋假设，低速时会漏掉另一根。
核心：自由刚体绕最大或最小主惯量轴转动稳定，绕中间主轴线性不稳定；算例/实验：线性化 Euler 方程，求扰动增长率并用翻转实验解释；反例：理想无矩刚体结论不直接包含空气阻力、柔性和内部耗散。