1Legendre 变换
闭卷重建Legendre 变换的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2Hamilton 正则方程
闭卷重建Hamilton 正则方程的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3相流与 Liouville 定理
闭卷重建相流与 Liouville 定理的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4相图、固定点与分离曲线
闭卷重建相图、固定点与分离曲线的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5Hamilton 形式中的约束入口
闭卷重建Hamilton 形式中的约束入口的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：辛 Euler 与相面积
闭卷重建实验：辛 Euler 与相面积的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7作用量、相轨与统计物理接口
闭卷重建作用量、相轨与统计物理接口的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：对 H(q,p,t) 全微分并与 L 的微分比较，得到 qdot=H_p、pdot=-H_q；算例/实验：从谐振子 H=p²/(2m)+kq²/2 画相轨并回到二阶方程；反例：p 是正则动量，含电磁势时不等于机械动量 mv。
核心：若速度 Hessian det(∂²L/∂qdot²)≠0，可由 p=L_qdot 反解 qdot，并定义 H=p·qdot-L；算例/实验：对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换；反例：退化 Lagrangian 不能直接反解速度，需要约束 Hamilton 理论。
核心：一自由度自治系统轨道位于 H=E 等值线；鞍点的稳定/不稳定流形构成分离曲线；算例/实验：画单摆相图，区分振动、转动、鞍点和 separatrix 周期发散；反例：相图箭头还需由 Hamilton 方程定向，等高线本身不提供时间参数。
核心：Hamilton 向量场在相空间散度为零，保持相体积；耗散系统一般不满足；算例/实验：计算一自由度 Hamilton 流散度，并跟踪小矩形随流剪切但面积不变；反例：相体积守恒不表示每条距离或普通形状保持。
核心：用 p 先更新、q 后更新的辛 Euler 积分谐振子，比较显式 Euler 的能量和面积漂移；算例/实验：四个步长/初值测试输出长期最大相对能量误差；反例：辛方法保持离散辛结构，不等于逐步精确守恒真实能量。
核心：退化 Legendre 变换产生主约束；一致性条件可能继续产生次约束并区分一类、二类；算例/实验：以带乘子的简单 L 为例识别 p_λ=0 并执行一次一致性检查；反例：这是 Dirac 理论入口，不能用普通正则方程假装所有动量独立。
核心：相空间结构让守恒面、作用量变量和 Liouville 测度进入统计力学；动力学先定义可达轨道；算例/实验：比较同一能量壳上的单条轨道平均与相空间平均，指出遍历假设额外在哪里；反例：Liouville 定理本身不证明遍历性或热化。