1一维系统的建模四步
闭卷重建一维系统的建模四步的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2多自由度与质量矩阵
闭卷重建多自由度与质量矩阵的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3含时广义坐标
闭卷重建含时广义坐标的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4耗散与 Rayleigh 函数
闭卷重建耗散与 Rayleigh 函数的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5Lagrange 乘子与约束反力
闭卷重建Lagrange 乘子与约束反力的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：Euler–Lagrange 残差
闭卷重建实验：Euler–Lagrange 残差的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7从模型反查极限
闭卷重建从模型反查极限的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：一般机械系统 T=1/2 qdot^T M(q,t)qdot+a(q,t)·qdot+T0，M 的耦合项来自坐标几何；算例/实验：推导双摆质量矩阵，检查对称性、正定性与小角极限；反例：质量矩阵非对角不等于存在势耦合；它可能纯粹来自动能几何。
核心：选 q、写 T 与 V、构造 L=T-V、计算 d/dt L_qdot-L_q=Q_nc；每步都需量纲与极限检查；算例/实验：完整推导 Atwood 机的方程和加速度，并回到牛顿法核对；反例：把常量误删前要确认它不依赖 q、qdot、t；含时全导数另有作用。
核心：线性黏性阻尼可用 R=1/2 qdot^T C qdot 表示，方程右侧加入 -∂R/∂qdot；算例/实验：对阻尼振子推导能量衰减率 dE/dt=-c qdot²；反例：干摩擦和滞后一般不能由二次 Rayleigh 函数完整表示。
核心：坐标映射显含时间会让 L 出现速度线性项和显含时项，但 Euler–Lagrange 形式保持；算例/实验：推导水平匀速移动支点单摆；再让支点加速，比较驱动项；反例：参考系变换后能量函数与原机械能未必相同。
核心：给定离散 q(t)，用中心差分估计 qdot、qddot 并计算 m qddot+V'(q) 的残差范数；算例/实验：对谐振子解析轨道采样，比较步长减半后的二阶收敛；反例：差分端点与噪声会放大误差；残差小不保证初边值条件正确。
核心：保留冗余坐标时写 d/dt L_qdot-L_q=Σ_a λ_a ∂f_a/∂q，连同 f_a=0 联立求运动与反力；算例/实验：用乘子法求圆环上小珠运动，并把 λ 解释成法向反力组合；反例：λ 的符号和量纲依赖约束函数归一化，不能脱离 f_a 直接解释。
核心：令耦合、驱动、阻尼或几何参数趋于零，方程应连续退化到已知模型；量纲和对称性是最低成本审计；算例/实验：对双摆、转动圆环和阻尼振子各做一次极限检查，定位一个故意植入的符号错；反例：极限正确只是必要条件，不是完整正确性证明。