1循环坐标与共轭动量
闭卷重建循环坐标与共轭动量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2时间平移与能量函数
闭卷重建时间平移与能量函数的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3空间平移与动量
闭卷重建空间平移与动量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4旋转与角动量
闭卷重建旋转与角动量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5Noether 定理的有限维推导
闭卷重建Noether 定理的有限维推导的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：守恒量漂移
闭卷重建实验：守恒量漂移的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7破缺对称与近似守恒
闭卷重建破缺对称与近似守恒的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：若 ∂L/∂t=0，则 E=Σ qdot_j p_j-L 守恒；自然系统中它常等于 T+V；算例/实验：逐行计算 dE/dt=-∂L/∂t，并对含速度势例子说明 E 未必等于 T+V；反例：L 不显含时间是条件；运动方程自治与外部约束做功需一致检查。
核心：若 ∂L/∂q_j=0，则 p_j=∂L/∂qdot_j 守恒；守恒对象由 L 的对称性决定；算例/实验：在中心力问题中由方位角循环推出角动量守恒，并核对其几何方向；反例：循环坐标依赖所选表示；坐标本身不出现才是判据，不是看势能一项。
核心：无穷小旋转 δr=ε×r 使 δL=0 时，对应 Noether 荷为总角动量；算例/实验：从各向同性势导出角动量守恒；再用轴对称势说明只保留一个分量；反例：对称群降为轴旋转时只得到轴向角动量，不是完整矢量守恒。
核心：连续空间平移不改变作用量时，总线动量守恒；内力抵消是该对称性的牛顿图像；算例/实验：对两粒子相互作用势 V(r1-r2) 做无穷小共同平移，导出总动量；反例：边界、外场或固定支点会破坏平移对称，不能仍宣称全系统动量守恒。
核心：数值积分后同时监测轨道误差与 Noether 荷相对漂移，比较显式 Euler 和辛 Euler；算例/实验：对谐振子运行固定时长，输出两种算法最大能量漂移；反例：短时间能量准不等于长期稳定；步长和采样相位都会影响漂移。
核心：若 δq_j=εX_j、δt=ετ 使 δL=dF/dt，则 J=Σp_jX_j-Hτ-F 沿运动守恒；算例/实验：完成无穷小变换、积分分部和使用 Euler–Lagrange 方程的三步推导；反例：准对称允许 L 改变一个全导数；把它误判为无对称会漏掉守恒量。
核心：小扰动破坏连续对称时，原守恒量按扰动尺度缓慢变化，可由 dJ/dt 的显式破缺项估计；算例/实验：在弱各向异性振子中计算角动量变化率并与数值轨道比较；反例：近似守恒必须给时间尺度和误差界，不能只说看起来几乎不变。